例 10.29

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• 问题 2023S15

例 10.29

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$g$ 是 $V$ 上的一个对称型。满足 $g(u,u)=0$ 的非零向量 $u$ 称为迷向向量。求证：$V$ 存在一组由迷向向量组成的标准正交基的充要条件是 $g$ 在 $V$ 的某一组标准正交基下的表示矩阵的迹等于零。

解答

证明 我们把问题转化成代数语言：设 $A$ 是 $g$ 在某一组标准正交基下的表示矩阵，则 $A$ 是实对称矩阵。 因此原问题等价于下面的矩阵问题：实对称矩阵 $A=(a_{ij})$ 正交相似于主对角元全是零的对称矩阵的充要条件是 $\mathrm{tr}(A)=0$。必要性是显然的，下面证充分性。对阶数 $n$ 进行归纳。当 $n=1$ 时结论显然成立， 假设对 $n-1$ 阶矩阵结论已成立，现证 $n$ 阶矩阵的情形。下面分两种情况进行讨论。

若 $A$ 的主对角元中有一个为零，由于主对角元的对换是正交相似变换，故不妨设 $a_{11}=0$，于是 $A=\left(\begin{array}{cc}0& {\alpha }^{\prime }\\ \alpha & A_1\end{array}\right)$。注意到 $A_1$ 是 $n-1$ 阶实对称矩阵且 $\mathrm{tr}(A_1)=0$，故由归纳假设可知，存在 $n-1$ 阶正交矩阵 $R$，使得 $R^{\prime }{A}_{1}R$ 的主对角元全为零。令 $P=\mathrm{diag}\{1,R\}$，则 $P$ 是 $n$ 阶正交矩阵， 使得 $P^{\prime }AP$ 的主对角元全为零。

若 $A$ 的主对角元全部非零，我们的目标是通过正交相似变换将 $A$ 化为第 $(1,1)$ 元素为零的实对称矩阵， 再由第一种情况的讨论即得结论。首先设 $P$ 为正交矩阵，使得 $P^{\prime }AP=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$，由假设可知 ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=\mathrm{tr}(A)=0$。若存在某个 ${\lambda }_i=0$， 则结论得证，故不妨设 ${\lambda }_i$ 全部非零。因为主对角元的对换是正交相似变换，故不妨进一步假设 ${\lambda }_1>0,{\lambda }_2<0$。设 $P=(e_1,e_2,\cdots ,e_n)$，则 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基，且满足 $A{e}_i={\lambda }_i{e}_i$。 设 $t,s$ 为实参数，满足如下条件：

$$(e_1+t{e}_2{)}^{\prime }A(e_1+t{e}_2)={\lambda }_1+t^2{\lambda }_2=0,(e_1+t{e}_2{)}^{\prime }(e_1+s{e}_2)=1+st=0,$$

则容易算出

$$t=\sqrt{-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}},s=-\sqrt{-\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}}.$$

令

$${\tilde{e}}_1=\frac{e_1+t{e}_2}{|e_1+t{e}_2|},{\tilde{e}}_2=\frac{e_1+s{e}_2}{|e_1+s{e}_2|},$$

则 ${\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2,e_3,\cdots ,e_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基。令 $Q=({\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2,e_3,\cdots ,e_n)$，则 $Q$ 是正交矩阵，且由上述条件容易验证 $Q^{\prime }AQ$ 是一个第 $(1,1)$ 元素为零的实对称矩阵，从而结论得证。$\square$