问题 2020S17

依赖于

• 例 9.11

被以下题目直接调用

• 无

问题 2020S17

设 V 为区间 $[-1,1]$ 上由次数不超过 3 的实系数多项式构成的实线性空间, V 上的内积定义为

$$(f,g)={\int }_{-1}^{+1}f(x)g(x)\mathrm{d}x,$$

试求

$$\underset{f(x)\in V}{\min }{\int }_{-1}^{+1}(\sin \pi x-f(x){)}^2\mathrm{d}x.$$

解答

本题即求 ${\min }_{f(x)\in V}\Vert \sin \pi x-f(x){\Vert }^2$ . 由例 9.11 可知, V 的一组标准正交基为 $w_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $w_1(x)=\sqrt{\frac{3}{2}}x$ , $w_2(x)=\sqrt{\frac{5}{8}}(3x^2-1)$ , $w_3(x)=\sqrt{\frac{7}{8}}(5x^3-3x)$ , 经计算可得 $(\sin \pi x,w_0(x))=0$ , $(\sin \pi x,w_1(x))=\frac{\sqrt{6}}{\pi }$ , $(\sin \pi x,w_2(x))=0$ , $(\sin \pi x,w_3(x))=\frac{\sqrt{14}({\pi }^2-15)}{{\pi }^3}$ . 因此, 由 Gram-Schmidt 方法的几何意义可得

$$\begin{array}{l}{\min }_{f(x)\in V}\Vert \sin \pi x-f(x){\Vert }^2=\Vert \sin \pi x-{\sum }_{i=0}^3(\sin \pi x,w_i(x))w_i(x){\Vert }^2\\ =\Vert \sin \pi x-\frac{\sqrt{6}}{\pi }\sqrt{\frac{3}{2}}x-\frac{\sqrt{14}({\pi }^2-15)}{{\pi }^3}\sqrt{\frac{7}{8}}(5x^3-3x){\Vert }^2\\ \approx \mathrm{0.00878023324.}\end{array}$$