问题 2019S13

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• 例 2.49

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• 无

问题 2019S13

设 A, B, C 为 n 阶实对称阵, 请用实对称阵的正交相似标准型理论证明:

$$\mathrm{tr}\left((ABC{)}^2\right)\le \mathrm{tr}(A^{2}B{C}^{2}B),$$

并求等号成立的充分必要条件.

解答

设 P 为正交阵, 使得 $P^{\prime }AP=diag\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$ 为正交相似标准型. 考虑到问题的条件和结论在同时正交相似变换 $A\mapsto P^{\prime }AP,B\mapsto P^{\prime }BP,C\mapsto P^{\prime }CP$ 下不改变, 故不妨从一开始就假设 $A=diag\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$ 为对角阵. 设 $BC=(b_{ij})$ , 则 $ABC=({\lambda }_i{b}_{ij})$ , 于是

$$\mathrm{tr}\left((ABC{)}^2\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n({\lambda }_i{b}_{ij})({\lambda }_j{b}_{ji})=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^2{b}_{ii}^2+2\sum _{1\le i<j\le n}{\lambda }_i{\lambda }_j{b}_{ij}{b}_{ji}.$$

又 $B{C}^{2}B=(BC)(BC{)}^{\prime }=({\sum }_{k=1}^n{b}_{ik}{b}_{jk})$ , 故 $A^{2}B{C}^{2}B=({\lambda }_i^2{\sum }_{k=1}^n{b}_{ik}{b}_{jk})$ , 于是

$$\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}^2\mathbf{B}{\mathbf{C}}^2\mathbf{B}\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^n{\lambda }_i^2{b}_{ik}^2=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^2{b}_{ii}^2+\sum _{1\le i<j\le n}\left({\lambda }_i^2{b}_{ij}^2+{\lambda }_j^2{b}_{ji}^2\right).$$

因此

$$\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}^2\mathbf{B}{\mathbf{C}}^2\mathbf{B}\right)-\mathrm{tr}\left((\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}{)}^2\right)=\sum _{1\le i<j\le n}{\left({\lambda }_i{b}_{ij}-{\lambda }_j{b}_{ji}\right)}^2\ge 0,$$

等号成立当且仅当 ${\lambda }_i{b}_{ij}={\lambda }_j{b}_{ji}(1\le i<j\le n)$，这当且仅当 ${\lambda }_i{b}_{ij}={\lambda }_j{b}_{ji}(1\le i,j\le n)$，这也当且仅当 $ABC=CBA=(ABC{)}^{\prime }$，即当且仅当 $ABC$ 为对称阵. 另外，也可利用例 2.49 给出一个简洁的证明