例 9.95

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• 无显式依赖

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• 例 9.106

例 9.95

设 $\phi$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 是正规算子的充要条件是 存在某个复系数多项式 $f(x)$，使得 ${\phi }^{\ast }=f(\phi )$。

解答

证明 先证充分性。若 ${\phi }^{\ast }=f(\phi )$，显然有 $\phi {\phi }^{\ast }={\phi }^{\ast }\phi$，因此 $\phi$ 是正规算子。再证必要性。设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$ 是 $\phi$ 的全体不同特征值，由谱分解定理，有

$$\phi ={\lambda }_1{E}_1+{\lambda }_2{E}_2+\cdots +{\lambda }_k{E}_k.$$

因为 $E_i^{\ast }=E_i$，所以

$${\phi }^{\ast }=\overline{{\lambda }_1}{E}_1+\overline{{\lambda }_2}{E}_2+\cdots +\overline{{\lambda }_k}{E}_k.$$

注意到 $E_i^2=E_i,E_i{E}_j=0(i\ne j)$，故对任意的正整数 $m$，有

$${\phi }^m={\lambda }_1^m{E}_1+{\lambda }_2^m{E}_2+\cdots +{\lambda }_k^m{E}_k.$$

进一步，对任意的多项式 $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_m{x}^m$，有

$$\begin{array}{rl}f(\phi )& =a_{0}I+a_1\phi +\cdots +a_m{\phi }^m\\ & =a_0\left(\sum _{i=1}^k{E}_i\right)+a_1\left(\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{E}_i\right)+\cdots +a_m\left(\sum _{i=1}^k{\lambda }_i^m{E}_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^{k}f({\lambda }_i)E_i.\end{array}$$

令

$$f_j(x)=\prod _{i\ne j}\frac{x-{\lambda }_i}{{\lambda }_j-{\lambda }_i},$$

则 $f_j({\lambda }_j)=1,f_j({\lambda }_i)=0(i\ne j)$，由此即得

$$f_j(\phi )=\sum _{i=1}^k{f}_j({\lambda }_i)E_i=E_j.$$

再令 $f(x)={\sum }_{j=1}^k\overline{{\lambda }_j}{f}_j(x)$，则有

$$f(\phi )=\sum _{j=1}^k\overline{{\lambda }_j}{f}_j(\phi )=\sum _{j=1}^k\overline{{\lambda }_j}{E}_j={\phi }^{\ast }.$$

$\square$