问题 2021S08

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• 例 7.3

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问题 2021S08

设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间, $\phi$ 是 V 上的线性变换. 证明: 若 $\phi$ 有 r 维不变子空间, 则 $\phi$ 必有 n - r 维不变子空间.

解答

设 U 是 r 维 $\phi$ -不变子空间, 选取 U 的一组基 $\{e_1,\cdots ,e_r\}$ , 并将其扩张为 V 的一组基 $\{e_1,\cdots ,e_r,e_{r+1},\cdots ,e_n\}$ , 则 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为分块上三角阵 $M=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)$ , 其中 A,B 分别是 r,n-r 阶方阵. 由例 7.3 可知, M 与 $M^{\prime }$ 相似, 即存在 n 阶非异阵 P, 使得 $P^{-1}MP=M^{\prime }$ . 令 $(f_1,f_2,\cdots ,f_n)=(e_1,e_2,\cdots ,e_n)P$ , 则由 P 的非异性可知 $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 是 V 的一组基, 并且 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $P^{-1}MP=M^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\prime }& O\\ C^{\prime }& B^{\prime }\end{array}\right)$ . 令 $W=L(f_{r+1},\cdots ,f_n)$ , 则容易验证 W 是 n-r 维 $\phi$ -不变子空间.