例 7.57

依赖于

• 例 7.56

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• 无

例 7.57

设

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ b& a+1& 0& 0\\ 3& b& 2& 0\\ 5& 4& a& 2\end{array}\right),$$

求 $A$ 的 Jordan 标准型。

解答

解 显然，$A$ 的特征值为 $1,a+1,2,2$。对 $A$ 进行分块

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& O\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right)$$

，其中所有的分块都是二阶方阵。 下面按 $a+1$ 是否等于 $1,2$ 进行分类讨论。

(1) 若 $a\ne 0$ 及 $a\ne 1$，则可有两种方法来处理。方法 1（几何重数）：经计算可知 特征值 $2$ 的几何重数等于 $1$，因此 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{1,a+1,J_2(2)\}$。方法 2（例 7.56）：显然 $A_{11}$ 可对角化， $A_{22}$ 不可对角化，且 $A_{11},A_{22}$ 无公共特征值，故可消去 $A_{21}$，因此 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{1,a+1,J_2(2)\}$。

(2) 若 $a=0$ 及 $b\ne 0$，则利用方法 2（例 7.56）可得，$A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{J_2(1),2,2\}$。

(3) 若 $a=0$ 及 $b=0$，则利用方法 2（例 7.56）可得，$A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{1,1,2,2\}$。

(4) 若 $a=1$ 及 $b\ne 0$，则利用方法 1（几何重数）可得，$A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{1,J_3(2)\}$。

(5) 若 $a=1$ 及 $b=0$，则利用方法 1（几何重数）可得，$A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{1,2,J_2(2)\}$。$\square$