问题 2017S02

依赖于

• 例 7.56

被以下题目直接调用

• 无

问题 2017S02

设方阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& a& a& 0\\ a-2& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$ 可对角化, 求 a 的值.

解答

经计算特征多项式 $f(\lambda )=|\lambda I_4-A|=\lambda (\lambda -a)(\lambda -1{)}^2$. 分以下三种情况讨论.

(1) 若 $a=0$ , 则 $A$ 的特征值为 0 (2 重), 1 (2 重). 经计算可得 $\mathrm{r}(A)=3$ , 于是特征值 0 的几何重数等于 $4-3=1$ , 小于其代数重数, 从而 $A$ 不可对角化. 另外, 特征值 1 的几何重数等于 1, 也小于其代数重数. (2) 若 $a=1$ , 则 $\mathbf{A}$ 的特征值为 0 (1 重), 1 (3 重). 经计算可得 $\mathrm{r}(\mathbf{A}-{\mathbf{I}}_4)=3$ , 于是特征值 1 的几何重数等于 $4-3=1$ , 小于其代数重数, 从而 $\mathbf{A}$ 不可对角化. (3) 若 $a\ne 0$ 且 $a\ne 1$ , 则 $\mathbf{A}$ 的特征值为 0 (1 重), $a$ (1 重), 1 (2 重). 对 $\mathbf{A}-{\mathbf{I}}_4$ 实施如下初等变换 (第三列乘以 -1 加到第二列, 第四列加到第二列, 第二列乘以 $a$ 加到第三列) 变为:

$$\mathbf{A}-{\mathbf{I}}_4=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& a-1& a& 0\\ a-2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ a-2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$$

若 A 可对角化, 则特征值 1 的几何重数也等于 2, 于是 $\mathrm{r}(A-I_4)=2$ , 从而可得 a = 2. 本题也有更简洁的解法. 将 A 的第一行和第四行对换, 再将第一列和第四列对换, 得到的矩阵 B 和 A 相似 (参考高代教材习题 4.3.10):

$${\mathbf{P}}_{14}\mathbf{A}{\mathbf{P}}_{14}=\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& a& a& 0\\ 0& 0& 1& a-2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

然后再利用例 7.56, 经过简单讨论后即得 a = 2.