问题 2022A14

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• 例 5.18

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• 无

问题 2022A14

设 $f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式, a 与 $\frac{1}{a}$ 都是 $f(x)$ 的复根. 证明: 若 b 是 $f(x)$ 的任一复根, 则 $\frac{1}{b}$ 也是 $f(x)$ 的复根.

解答

不妨设 $f(x)$ 为 n 次首一多项式:

$$f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0\in \mathbb{Q}[x].$$

若 $n=1$ , 则 $-a_0=a=\frac{1}{a}$ , 从而 $a_0=\pm 1$ , 结论显然成立. 下设 $n\ge 2$ , 由于 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约, 故 $a_0\ne 0$ . 又 $f(a)=0$ , 故由例 5.18可知, $f(x)$ 是 $a$ 的极小多项式. 再由 $f(\frac{1}{a})=0$ 可知 a 也是多项式 $x^{n}f(\frac{1}{x})=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+1$ 的根. 由极小多项式的基本性质可得 $f(x)\mid x^{n}f(\frac{1}{x})$，又两个多项式都是 n 次多项式，故可得 $x^{n}f(\frac{1}{x})=a_{0}f(x)$，由此等式即得结论.