例 5.39

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 5.47

例 5.39

设 $f(x)$ 是复数域上的多项式，若对任意的实数 $c,f(c)$ 总是实数，求证：$f(x)$ 是实系数多项式。

解答

证明 设 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$，分别令 $x=0,1,2,\cdots ,n$，得到一个以 $a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0$ 为未知数，由 $n+1$ 个方程式组成的实系数线性方程组。该方程组的系数行列式是一个非零的 Vandermonde 行列式，故方程组必有唯一一解，且解为实数。因此 $f(x)$ 是实系数多项式。$\square$