问题 2015S01

依赖于

• 例 3.54

被以下题目直接调用

• 无

问题 2015S01

设 $M_n(\mathbb{R})$ 是 n 阶实方阵全体构成的实线性空间， $\phi$ 是 $M_n(\mathbb{R})$ 上的线性变换，使得对于任意的 $A,B\in M_n(\mathbb{R})$，或者 $\phi (AB)=\phi (A)\phi (B)$ 成立，或者 $\phi (AB)=\phi (B)\phi (A)$ 成立。证明：或者 $\phi (AB)=\phi (A)\phi (B)$ 对任意的 $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ 都成立，或者 $\phi (AB)=\phi (B)\phi (A)$ 对任意的 $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ 都成立。

解答

对任意取定的 $A\in M_n(\mathbb{R})$，设

$$U_{\mathbf{A}}=\left\{\mathbf{B}\in M_n(\mathbb{R})\mid \phi (\mathbf{AB})=\phi (\mathbf{A})\phi (\mathbf{B})\right\},V_{\mathbf{A}}=\left\{\mathbf{B}\in M_n(\mathbb{R})\mid \phi (\mathbf{AB})=\phi (\mathbf{B})\phi (\mathbf{A})\right\},$$

则容易验证 $U_{\mathbf{A}},V_{\mathbf{A}}$ 都是 $M_n(\mathbb{R})$ 的子空间且 $M_n(\mathbb{R})=U_{\mathbf{A}}\cup V_{\mathbf{A}}$ . 由例 3.54可知, $U_{\mathbf{A}},V_{\mathbf{A}}$ 中至少有一个是全子空间. 设

$$U=\left\{\mathbf{A}\in M_n(\mathbb{R})\mid U_{\mathbf{A}}=M_n(\mathbb{R})\right\},V=\left\{\mathbf{A}\in M_n(\mathbb{R})\mid V_{\mathbf{A}}=M_n(\mathbb{R})\right\},$$

则容易验证 U, V 都是 $M_n(\mathbb{R})$ 的子空间且 $M_n(\mathbb{R})=U\cup V$ . 再次由例 3.54 可知, U, V 中至少有一个是全子空间. 若 $U=M_n(\mathbb{R})$ , 则 $\phi (\mathbf{A}\mathbf{B})=\phi (\mathbf{A})\phi (\mathbf{B})$ 对任意的 $\mathbf{A},\mathbf{B}\in M_n(\mathbb{R})$ 成立, 若 $V=M_n(\mathbb{R})$ , 则 $\phi (\mathbf{A}\mathbf{B})=\phi (\mathbf{B})\phi (\mathbf{A})$ 对任意的 $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ 成立. 也可用多元多项式的整性来证明本题. 取基础矩阵 $\{{\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},\cdots ,{\mathbf{E}}_{1n};\cdots ;{\mathbf{E}}_{n1},{\mathbf{E}}_{n2},\cdots ,{\mathbf{E}}_{nn}\}$ 为 $M_n(\mathbb{R})$ 的一组基, $\eta :M_n(\mathbb{R})\to R^{n^2}$ 是将矩阵映为在这组基下的坐标向量的线性同构. 设 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $M\in M_{n^2}(\mathbb{R})$ , n 阶未定实矩阵 $\mathbf{A}=(x_{ij}),\mathbf{B}=(y_{ij})$ , 则 $\phi (\mathbf{A})={\eta }^{-1}(M\eta (\mathbf{A}))$ , $\phi (\mathbf{B})={\eta }^{-1}(M\eta (\mathbf{B}))$, 于是矩阵 $\phi (A)$ 的元素是关于 $A$ 的元素 $x_{ij}(1\le i,j\le n)$ 的实系数多项式, 同理对矩阵 $\phi (B),\phi (AB),\phi (BA)$ 也有类似的结论. 设矩阵 $\phi (AB)-\phi (A)\phi (B)=(u_{ij}),\phi (AB)-\phi (B)\phi (A)=(v_{ij})$, 其中 $u_{ij},v_{ij}(1\le i,j\le n)$ 都是关于未定元 $x_{ij},y_{ij}(1\le i,j\le n)$ 的实系数多项式. 设实系数多元多项式

$$f(x_{ij},y_{ij})=\left(\sum _{1\le i,j\le n}{u}_{ij}^2\right)\left(\sum _{1\le i,j\le n}{v}_{ij}^2\right),$$

则由假设可知 $f(x_{ij},y_{ij})$ 为零多项式函数，从而为零多项式．再由多元多项式的整性可知，或者 ${\sum }_{1\le i,j\le n}{u}_{ij}^2$ 为零多项式，或者 ${\sum }_{1\le i,j\le n}{v}_{ij}^2$ 为零多项式，这等价于或者 $u_{ij}=0(1\le i,j\le n)$，或者 $v_{ij}=0(1\le i,j\le n)$，即等价于或者 $\phi (AB)=\phi (A)\phi (B)$ 恒成立，或者 $\phi (AB)=\phi (B)\phi (A)$ 恒成立.