例 3.9

依赖于

• 无显式依赖

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• 第 3 章填空题 6

例 3.9

设向量 $\beta$ 可由向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性表示，但不能由其中任何个数少于 $m$ 的部分向量线性表示，求证：这 $m$ 个向量线性无关。

解答

证明 用反证法，设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关，则至少有一个向量是其余向量的 线性组合。不妨设 ${\alpha }_m$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{m-1}$ 的线性组合， 则由线性组合的传递性可知，$\beta$ 也是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{m-1}$ 的线性组合，这与假设矛盾。$\square$