例 3.27

依赖于

• 例 3.24

被以下题目直接调用

• 无

例 3.27

设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上次数小于 $n$ 的多项式全体构成的线性空间， $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 是 $\mathbb{K}$ 中互不相同的 $n$ 个数， $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$， $f_i(x)=f(x)/(x-a_i)$，求证：$\{f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_n(x)\}$ 组成 $V$ 的一组基。

解答

证明 因为 $V$ 是 $n$ 维线性空间，故由例 3.24 只需证明 $n$ 个向量 $f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_n(x)$ 线性无关即可。设

$$k_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x)+\cdots +k_n{f}_n(x)=0,$$

依次令 $x=a_1,a_2,\cdots ,a_n$，即可求出 $k_1=k_2=\cdots =k_n=0$。