例 3.26

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• 例 3.24

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• 无

例 3.26

设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上次数不超过 $n$ 的多项式全体构成的线性空间，求证： $\{1,x,x^2,\cdots ,x^n\}$ 是 $V$ 的一组基，并且 $\{1,x+1,(x+1{)}^2,\cdots ,(x+1{)}^n\}$ 也是 $V$ 的一组基。

解答

证明 根据多项式的定义容易验证 $\{1,x,x^2,\cdots ,x^n\}$ 是 $V$ 的一组基，特别地，$\dim V=n+1$。对任意的 $f(x)\in V$，设 $y=x+1$，则

$$f(x)=f(y-1)=b_n{y}^n+\cdots +b_{1}y+b_0=b_n(x+1{)}^n+\cdots +b_1(x+1)+b_0,$$

其中 $b_n,\cdots ,b_1,b_0$ 是 $\mathbb{K}$ 中的数。因此，$V$ 中任一多项式 $f(x)$ 均可由 $1,x+1,(x+1{)}^2,\cdots ,(x+1{)}^n$ 线性表示。由例 3.24 可知， $\{1,x+1,(x+1{)}^2,\cdots ,(x+1{)}^n\}$ 是 $V$ 的一组基。