例 3.2

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例 3.11

例 3.2

设 $A = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})$ 是一个 $m \times n$ 矩阵， $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 是列向量。 $P$ 是一个 $m$ 阶可逆矩阵， $B = P A = (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n})$ ，其中 $β_{j} = P α_{j} (1 \leq j \leq n)$ 。证明：若 $α_{i_{1}}, α_{i_{2}}, \dots, α_{i_{r}}$ 是 $A$ 的列向量的极大无关组，则 $β_{i_{1}}, β_{i_{2}}, \dots, β_{i_{r}}$ 是 $B$ 的列向量的极大无关组。

解答

证明先证明向量组 $β_{i_{1}}, β_{i_{2}}, \dots, β_{i_{r}}$ 线性无关。设

c_{1} β_{i_{1}} + c_{2} β_{i_{2}} + \dots + c_{r} β_{i_{r}} = 0,

即

c_{1} P α_{i_{1}} + c_{2} P α_{i_{2}} + \dots + c_{r} P α_{i_{r}} = 0.

已知 $P$ 是可逆矩阵，因此

c_{1} α_{i_{1}} + c_{2} α_{i_{2}} + \dots + c_{r} α_{i_{r}} = 0.

而向量组 $α_{i_{1}}, α_{i_{2}}, \dots, α_{i_{r}}$ 线性无关，故 $c_{1} = c_{2} = \dots = c_{r} = 0$ ，这证明了向量组 $β_{i_{1}}, β_{i_{2}}, \dots, β_{i_{r}}$ 线性无关。要证这是 $B$ 的列向量的极大无关组，只需证明 $B$ 的任意一个列向量都是这些向量的线性组合即可。设 $β_{j}$ 是 $B$ 的任意一个列向量，则 $β_{j} = P α_{j}$ 。因为 $α_{i_{1}}, α_{i_{2}}, \dots, α_{i_{r}}$ 是 $A$ 的列向量的极大无关组，故 $α_{j}$ 可用 $α_{i_{1}}, α_{i_{2}}, \dots, α_{i_{r}}$ 线性表示。不妨设

α_{j} = b_{1} α_{i_{1}} + b_{2} α_{i_{2}} + \dots + b_{r} α_{i_{r}},

则

P α_{j} = b_{1} P α_{i_{1}} + b_{2} P α_{i_{2}} + \dots + b_{r} P α_{i_{r}},

即

β_{j} = b_{1} β_{i_{1}} + b_{2} β_{i_{2}} + \dots + b_{r} β_{i_{r}} .

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