例 3.114

依赖于

• 例 3.110

被以下题目直接调用

• 无

例 3.114

已知平面上两条不同的二次曲线

$$a_i{x}^2+b_{i}xy+c_i{y}^2+d_{i}x+e_{i}y+f_i=0(i=1,2)$$

交于 4 个不同的点 $(x_i,y_i)(1\le i\le 4)$。求证：过这 4 个点的二次曲线均可写为如下形式：

$${\lambda }_1(a_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2+d_{1}x+e_{1}y+f_1)+{\lambda }_2(a_2{x}^2+b_{2}xy+c_2{y}^2+d_{2}x+e_{2}y+f_2)=0.$$

解答

证明 显然上述曲线过这 4 个交点。现设

$$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$$

是过这 4 个交点的二次曲线，则有

$$\{\begin{array}{rcl}a{x}_1^2+b{x}_1{y}_1+c{y}_1^2+d{x}_1+e{y}_1+f& =& 0,\\ a{x}_2^2+b{x}_2{y}_2+c{y}_2^2+d{x}_2+e{y}_2+f& =& 0,\\ a{x}_3^2+b{x}_3{y}_3+c{y}_3^2+d{x}_3+e{y}_3+f& =& 0,\\ a{x}_4^2+b{x}_4{y}_4+c{y}_4^2+d{x}_4+e{y}_4+f& =& 0.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

视 $a,b,c,d,e,f$ 为未知数，则线性方程组 (3.3) 有线性无关的解

$$(a_1,b_1,c_1,d_1,e_1,f_1{)}^{\prime },(a_2,b_2,c_2,d_2,e_2,f_2{)}^{\prime }.$$

如果能证明方程组 (3.3) 的系数矩阵的秩等于 4，则这两个解就构成了基础解系，从而即得结论。

容易验证 4 个交点中的任意 3 个点都不共线，而且经过坐标轴适当的旋转，可以假设这 4 个交点的横坐标 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 互不相同。用反证法证明结论，设方程组 (3.3) 系数矩阵 $A$ 的秩小于 4。由任意 3 个交点不共线以及例 3.110 可知，$(x_1,x_2,x_3,x_4{)}^{\prime }$，$(y_1,y_2,y_3,y_4{)}^{\prime }$，$(1,1,1,1{)}^{\prime }$ 线性无关，从而它们是 $A$ 的列向量的极大无关组，于是 $(x_1^2,x_2^2,x_3^2,x_4^2{)}^{\prime }$ 是它们的线性组合，故可设 $x_i^2=r{x}_i+s{y}_i+t(1\le i\le 4)$，其中 $r,s,t$ 是实数。由于 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 互不相同，故 $s\ne 0$，于是

$$y_i=\frac{1}{s}{x}_i^2-\frac{r}{s}{x}_i-\frac{t}{s}(1\le i\le 4).$$

考虑 $A$ 的第一列、第二列、第四列和第六列构成的四阶行列式 $|B|$，利用 Vandermonde 行列式容易算出

$$|B|=-\frac{1}{s}\prod _{1\le i<j\le 4}(x_i-x_j)\ne 0,$$

于是 $A$ 的秩等于 4，这与假设矛盾。因此方程组 (3.3) 的系数矩阵的秩只能等于 4。$\square$