问题 2023A06

依赖于

• 例 2.1

被以下题目直接调用

• 无

问题 2023A06

设数域 K 上的 n 阶方阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}& c_1& & \\ & & \ddots & \\ & & & c_{n-1}\\ c_n& & & \end{array}\right),$$

证明: $\left|I_n+A+\cdots +A^{n-1}\right|=(1-c{)}^{n-1}$，其中 $c=c_1{c}_2\cdots c_n$ .

解答

下面给出三种证法.

证法 1 (直接计算) 设 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 为 n 维标准单位列向量, 则

$$\mathbf{A}=\left(c_n{\mathbf{e}}_n,c_1{\mathbf{e}}_1,\dots ,c_{n-1}{\mathbf{e}}_{n-1}\right).$$

仿照例 2.1 的计算方法可得

$$\begin{array}{l}{\mathbf{A}}^2=(c_n\mathbf{A}{\mathbf{e}}_n,c_1\mathbf{A}{\mathbf{e}}_1,\dots ,c_{n-1}\mathbf{A}{\mathbf{e}}_{n-1})=(c_n{c}_{n-1}{\mathbf{e}}_{n-1},c_1{c}_n{\mathbf{e}}_n,\dots ,c_{n-1}{c}_{n-2}{\mathbf{e}}_{n-2}),\\ A^3=\left(c_n{c}_{n-1}A{e}_{n-1},c_1{c}_{n}A{e}_n,\dots ,c_{n-1}{c}_{n-2}A{e}_{n-2}\right)\\ =\left(c_n{c}_{n-1}{c}_{n-2}{\mathbf{e}}_{n-2},c_1{c}_n{c}_{n-1}{\mathbf{e}}_{n-1},\dots ,c_{n-1}{c}_{n-2}{c}_{n-3}{\mathbf{e}}_{n-3}\right),\end{array}$$ $$\dots \dots$$ $${\mathbf{A}}^{n-1}=\left(c_n{c}_{n-1}\dots c_2{\mathbf{e}}_2,c_1{c}_n\dots c_3{\mathbf{e}}_3,\dots ,c_{n-1}{c}_{n-2}\dots c_1{\mathbf{e}}_1\right),$$ $${\mathbf{A}}^n=c_1{c}_2\dots c_n({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_n)=c{\mathbf{I}}_n.$$

因此，

$$\left|{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}+\cdots +{\mathbf{A}}^{n-1}\right|=\left|\begin{array}{cccccc}1& c_1& c_2{c}_1& \dots & c_{n-2}\dots c_1& c_{n-1}\dots c_1\\ c_n\dots c_2& 1& c_2& \dots & c_{n-2}\dots c_2& c_{n-1}\dots c_2\\ c_n\dots c_3& c_1{c}_n\dots c_3& 1& \dots & c_{n-2}\dots c_3& c_{n-1}\dots c_3\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ c_n{c}_{n-1}& c_1{c}_n{c}_{n-1}& c_2{c}_1{c}_n{c}_{n-1}& \dots & 1& c_{n-1}\\ c_n& c_1{c}_n& c_2{c}_1{c}_n& \dots & c_{n-2}\dots c_1{c}_n& 1\end{array}\right|.$$

依次将上述行列式的第 j 列乘以 $-c_j$ 加到第 $j+1$ 列上 $(j=n-1,\cdots ,1)$，则可得

$$\left|{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}+\cdots +{\mathbf{A}}^{n-1}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& & & & \\ c_n\dots c_2& 1-c& & & \\ c_n\dots c_3& & 1-c& & \\ ⋮& & & \ddots & \\ c_n{c}_{n-1}& & & & 1-c\\ c_n& & & & 1-c\end{array}\right|=(1-c{)}^{n-1}.$$

证法 2 (分类讨论) 由证法 1 相同的计算可得 $A^n=c{I}_n$ . 另一方面,

$$|{\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{cccc}1& -c_1& & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1& -c_{n-1}\\ -c_n& & & 1\end{array}\right|,$$

按第一列展开后可得 $\left|I_n-A\right|=1-c.$ 注意到

$$\left({\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right)\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}+\cdots +{\mathbf{A}}^{n-1}\right)={\mathbf{I}}_n-{\mathbf{A}}^n=(1-c){\mathbf{I}}_n,$$

故两边同取行列式可得

$$(1-c)\left|{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}+\cdots +{\mathbf{A}}^{n-1}\right|=(1-c{)}^n.$$

若 $c\ne 1$，则 $|I_n+A+\cdots +A^{n-1}|=(1-c{)}^{n-1}$。若 c = 1，则 $I_n+A+\cdots +A^{n-1}$ 必为奇异阵。否则，若 $I_n+A+\cdots +A^{n-1}$ 为非异阵，则由 $(I_n-A)(I_n+A+\cdots +A^{n-1})=I_n-A^n=O$ 可得 $I_n-A=O$，矛盾！故当 c = 1 时， $|I_n+A+\cdots +A^{n-1}|=0=(1-c{)}^{n-1}$ 仍成立。

证法 3 (摄动法) 当 $c\ne 1$ 时, 由证法 2 相同的证明可得 $|I_n+A+\cdots +A^{n-1}|=(1-c{)}^{n-1}$ . 当 c = 1 时, 令

$${\mathbf{A}}_{t_k}=\left(\begin{array}{cccc}& c_1& & \\ & & \ddots & \\ & & & c_{n-1}\\ c_n{t}_k& & & \end{array}\right),$$

其中有理数列 $t_k\to 1$ 且所有的 $t_k\ne 1$。注意到此时 $c_1{c}_2\cdots c_n{t}_k=c{t}_k\ne 1$，故由已证情形可得

$$\left|{\mathbf{I}}_n+{\mathbf{A}}_{t_k}+\cdots +{\mathbf{A}}_{t_k}^{n-1}\right|=(1-c{t}_k{)}^{n-1}.$$

上式两边都是关于 $t_k$ 的连续函数, 令 $k\to \infty$ , 取极限即得 $|I_n+A+\cdots +A^{n-1}|=(1-c{)}^{n-1}$ 对 c = 1 的情形也成立.