问题 2023A04

依赖于

问题 2023A04

设 n 阶三对角矩阵
$A = 2 a a^{2} 1 2 a ⋱ 1 ⋱ ⋱ ⋱ 2 a a^{2} 1 2 a,$
其中 $a \neq = 0$ . 请用初等变换法求 $A^{- 1}$ .

由 22 级高代 I 期中 04 的 Case 2 中完全一样的初等行变换可得 $(A ∣ I_{n}) \to (I_{n} ∣ A^{- 1})$ ，其中 $A^{- 1} = (b_{ij})$ ,

b_{ij} = {(- 1)^{i + j} \frac{i ( n + 1 - j )}{n + 1} a^{i - j - 1} (- 1)^{i + j} \frac{j ( n + 1 - i )}{n + 1} a^{i - j - 1} 若 i < j; 若 i \geq j .

具体的计算过程留给读者完成.