问题 2021A04

依赖于

• 例 1.4

被以下题目直接调用

• 无

问题 2021A04

求下列行列式的值:

$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1^2+n-1& a_1+a_2& a_1+a_3& \dots & a_1+a_n\\ a_1+a_2& a_2^2+1& 1& \dots & 1\\ a_1+a_3& 1& a_3^2+1& \dots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1+a_n& 1& 1& \dots & a_n^2+1\end{array}\right|.$$

解答

由矩阵乘法以及例 1.4 可得

$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1& 1& 1& \dots & 1\\ 1& a_2& & & \\ 1& & a_3& & \\ ⋮& & & \ddots & \\ 1& & & & a_n\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1& 1& 1& \dots & 1\\ 1& a_2& & & \\ 1& & a_3& & \\ ⋮& & & \ddots & \\ 1& & & & a_n\end{array}\right|$$ $$={\left(a_1{a}_2\dots a_n-\sum _{i=2}^n{a}_2\dots \widehat{a_i}\dots a_n\right)}^2.$$