问题 2016A07

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• 例 2.71

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• 无

问题 2016A07

设 A, B 为 n 阶实方阵, 满足 $A^2+B^2=O$ , 设 $d=|AB-BA|$ . 证明: 若 n 是奇数, 则 d = 0; 若 n 能被 4 整除, 则 $d\ge 0$ ; 若 n 除以 4 余 2, 则 $d\le 0$ .

解答

由例 2.71 的结论可得

$$\begin{array}{l}\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& -\mathbf{B}\\ \mathbf{B}& \mathbf{A}\end{array}\right|=|\mathbf{A}+\mathrm{i}\mathbf{B}||\mathbf{A}-\mathrm{i}\mathbf{B}|=|(\mathbf{A}+\mathrm{i}\mathbf{B})(\mathbf{A}-\mathrm{i}\mathbf{B})|\\ =|{\mathbf{A}}^2+{\mathbf{B}}^2-\mathrm{i}(\mathbf{AB}-\mathbf{BA})|=|-\mathrm{i}(\mathbf{AB}-\mathbf{BA})|=(-\mathrm{i}{)}^n|\mathbf{AB}-\mathbf{BA}|.\end{array}$$

注意到 A, B 为实方阵, 故 $d=|AB-BA|$ 为实数, $\overline{|A+iB|}=|\overline{A+iB}|=|A-iB|$ , 于是 $(-i{)}^{n}d=|A+iB||\overline{|A+iB|}\ge 0$ . 因此, 若 n 是奇数, 则 $(-i{)}^n=\pm i$ , 从而 d = 0; 若 n 能被 4 整除, 则 $(-i{)}^n=1$ , 从而 $d\ge 0$ ; 若 n 除以 4 余 2, 则 $(-i{)}^n=-1$ , 从而 $d\le 0$ .