例 2.25 依赖于 例 2.23 被以下题目直接调用 无 例 2.25 (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 设 A 为 n 阶可逆阵，C 为 m 阶可逆阵，B 为 n×m 矩阵，D 为 m×n 矩阵，使得 C−1+DA−1B 可逆。求证：A+BCD 也可逆，并且 (A+BCD)−1=A−1−A−1B(C−1+DA−1B)−1DA−1. 解答 证明 注意到 A+BCD=A(In+A−1BCD)，将 A−1B 和 CD 分别看成整体，此时 Im+(CD)(A−1B)=C(C−1+DA−1B) 可逆，故由例 2.23 的结论可知 In+(A−1B)(CD) 也可逆，并且 (In+A−1BCD)−1=In−A−1B(Im+CDA−1B)−1CD=In−A−1B(C−1+DA−1B)−1D. 于是 A+BCD=A(In+A−1BCD) 也可逆，并且 (A+BCD)−1=A−1−A−1B(C−1+DA−1B)−1DA−1. □
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