问题 2023A02

依赖于

• 例 1.27

被以下题目直接调用

• 无

问题 2023A02

设 n 阶行列式 $|A|$ 的第 $(i,j)$ 元素 $a_{ij}=C_{ni}^j(1\le i,j\le n)$，试求 $|A|$ 的值.

解答

设 $x_i=ni$，则 $a_{ij}={\mathrm{C}}_{x_i}^j=\frac{1}{j!}{x}_i(x_i-1)\cdots (x_i-j+1)=\frac{1}{j!}{x}_i{f}_{j-1}(x_i)$，其中 $f_{j-1}(x_i)=(x_i-1)\cdots (x_i-j+1)$ 是关于 $x_i$ 的 j-1 次首一多项式， $f_0(x_i)=1$。将 $|A|$ 的每一行提出公因子 $x_i(1\le i\le n)$，每一列提出公因子 $\frac{1}{j!}(1\le j\le n)$，则可得

$$|\mathbf{A}|=\frac{{\prod }_{i=1}^n{x}_i}{{\prod }_{j=1}^{n}j!}\left|\begin{array}{cccc}1& f_1(x_1)& \dots & f_{n-1}(x_1)\\ 1& f_1(x_2)& \dots & f_{n-1}(x_2)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& f_1(x_n)& \dots & f_{n-1}(x_n)\end{array}\right|.$$

最后由例 1.27 (类 Vandermonde 行列式) 可得

$$|\mathbf{A}|=\frac{{\prod }_{i=1}^n{x}_i}{{\prod }_{j=1}^{n}j!}\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)=\frac{n^{n}n!}{{\prod }_{j=1}^{n}j!}{n}^{\frac{1}{2}n(n-1)}\prod _{j=1}^{n-1}j!=n^{\frac{1}{2}n(n+1)}.$$