问题 2018A01

依赖于

• 例 1.21

被以下题目直接调用

• 无

问题 2018A01

计算下列 $n+1$ 阶行列式的值:

$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \dots & 1\\ 1& a_1& a_2& \dots & a_n\\ -2& a_1^2& a_2^2& \dots & a_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ (-1{)}^{n-1}n& a_1^n& a_2^n& \dots & a_n^n\end{array}\right|.$$

解答

关于 $x,a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的 Vandermonde 行列式

$$f(x)=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ x& a_1& a_2& \dots & a_n\\ x^2& a_1^2& a_2^2& \dots & a_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ x^n& a_1^n& a_2^n& \dots & a_n^n\end{array}\right|=\prod _{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)\prod _{k=1}^n(a_k-x),$$

于是

$$f^{\prime }(x)=-\prod _{1\le i<j\le n}\left(a_j-a_i\right)\sum _{k=1}^n\left(a_1-x\right)\dots \left(a_{k-1}-x\right)\left(a_{k+1}-x\right)\dots \left(a_n-x\right).$$

再由行列式的求导公式 (例 1.21) 可得

$$|\mathbf{A}|=f^{\prime }(-1)=-\prod _{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)\sum _{k=1}^n(a_1+1)\dots (a_{k-1}+1)(a_{k+1}+1)\dots (a_n+1).$$