使用指示函数进行表示

对于样本空间 $Ω$ 中的任意一个样本点 $ω$ ，指示函数的取值为：

1_{A} (ω) = {1, 0, 如果 ω \in A 如果 ω \in / A

指示函数有如下性质

性质1

$1_{A} 1_{B} = 1_{A \cap B}$

分情况 $ω \in A \cap B$ 以及 $ω \in / A \cap B$ 证明等式两边相等即可

性质2

$E [1_{A}] = P (A)$

离散情形:

E [1_{A}] = 1 \cdot P (1_{A} = 1) + 0 \cdot P (1_{A} = 0) = 1 \cdot P (A) + 0 \cdot (1 - P (A)) = P (A)

连续情形:

E [1_{A}] = \int_{Ω} 1_{A} (ω) d P (ω) = \int_{A} 1 d P (ω) = P (A)

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