11-最简分式的计算

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 无

正文部分

在计算有理函数的导数和不定积分, 乃至在研究线性微分方程在无穷远处的特性时, 把有理函数化为最简分式是重要的. 最简分式的计算是既困难又容易的一个问题. 其容易之处在于它有一套规范的解法, 困难之处则在于有理函数分母的求根和计算过程较为复杂, 容易产生错误. 鉴于分母求根的困难是本质的, 我们不准备对此作讨论. 在以下的例题中, 我们总是假设能够得到分母的因式分解. 下面我们通过例题来说明较常规情形下最简分式中系数的计算方法, 更一般的情形可以参见 [10].

例 11.1

例 11.1

设

$$f(x)=\frac{x^2+x+5}{(x+1)(x-1)(x-2)}$$

求 $f$ 的最简分式.

解 首先, 题中分式分子的次数小于分母的次数, 我们知道可以设

$$f(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2}.$$

问题是如何求 A, B, C. 我们有

$$x^2+x+5=A(x-1)(x-2)+B(x+1)(x-2)+C(x+1)(x-1).$$

在上式中分别代入 $x=-1,1,2$ 可得 $A,B,C$ . 但是我们更愿意把它们写成

$$A=\underset{x\to -1}{\lim }[(x+1)f(x)]=\frac{x^2+x+5}{(x+1)(x-1)(x-2)}{|}_{x+1=0}=\frac{5}{6},$$ $$B={\frac{x^2+x+5}{(x+1)(x-1)(x-2)}|}_{x-1=0}=-\frac{7}{2},$$ $$C={\frac{x^2+x+5}{(x+1)(x-1)(x-2)}|}_{x-2=0}=\frac{11}{3}.$$

例 11.2

例 11.2

设

$$f(x)=\frac{x^3+x+5}{(x+1)(x-1)(x-2)}$$

求 $f$ 的最简分式.

解 这里分子的次数等于分母的次数, 我们可以设

$$f(x)=D+\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2}.$$

上式中令 $x\to \infty$ 或利用多项式除法 (不必除尽) 易见 $D=1$ , 从而类似于例 11.1, 我们有

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\frac{x^3+x+5}{(x+1)(x-1)(x-2)}& =1+\left[\frac{x^3+x+5}{(x+1)(x-1)(x-2)}{|}_{x+1 \\ =0}\right]\frac{1}{x+1}+\\ \left[\frac{x^3+x+5}{(x+1)(x-1)(x-2)}{|}_{x-1=0}\right]\frac{1}{x-1}+& \\ \left[\frac{x^3+x+5}{(x+1)(x-1)(x-2)}{|}_{x-2=0}\right]\frac{1}{x-2}& \\ & =1+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{7}{2(x-1)}+\frac{5}{x-2}.\end{array} \end{gathered}$$

易见, 当这种方法推广到有理函数分子次数大于分母次数的情形时, 分式部分的计算方式是一样的.

例 11.3

例 11.3

设

$$f(x)=\frac{x^2+5x}{(x-1)(x^2+1)}$$

求 $f$ 的最简分式.

解 可以设

$$f(x)=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}.$$

不难得到

$$A=\frac{x^2+5x}{(x-1)(x^2+1)}{|}_{x-1=0}=3.$$ $$B\mathrm{i}+C={\frac{x^2+5x}{(x-1)(x^2+1)}|}_{x=\mathrm{i}}=-2\mathrm{i}+3,$$

从而 B = -2, C = 3. 读者也可以利用 -i 来计算.

例 11.4

例 11.4

设

$$f(x)=\frac{2x^2+1}{(x+1)(x^2+x+1)}$$

求 $f$ 的最简分式.

解 本例中 $x^2+x+1$ 在实数范围内已经不可分解. 可以设

$$f(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}.$$

我们完全可以仿照上一题来计算 A, B, C, 其中

$$A=\frac{2x^2+1}{(x+1)(x^2+x+1)}{|}_{x+1=0}=3.$$

但计算 $B,C$ 时要利用的是 $x^2+x+1=0$ 的一个（虚）根，计算比较麻烦。为

此, 我们不直接计算, 而采用如下方法:

法I 设 $x$ 满足 $x^2+x+1=0$ . 则

$$\begin{array}{rlr}Bx+C& =\frac{2x^2+1}{(x+1)(x^2+x+1)}& \\ & =\frac{-2x-1}{x+1}(x^2& =-x-1)\\ & =\frac{-(2x+1)x}{(x+1)x}(\text{让分母前两项等于}{x}^2+x)& \\ & =-(x+2).& \end{array}$$

从而 $B=-1,C=-2$ . 这里我们利用了如下结果: 若 $B,C,\alpha ,\beta$ 为实数, 而 $x$ 为虚数, 则 ” $Bx+C=\alpha x+\beta$ ” 蕴涵 ” $B=\alpha ,C=\beta$ ”. 最后得到

$$\frac{2x^2+1}{(x+1)(x^2+x+1)}=\frac{3}{x+1}-\frac{x+2}{x^2+x+1}.$$

法II B, C 还可以利用 A 比较容易计算来得到. 我们有

$$\begin{array}{rl}\frac{2x^2+1}{(x+1)(x^2+x+1)}& =\frac{3}{x+1}+\left[\frac{2x^2+1}{(x+1)(x^2+x+1)}-\frac{3}{x+1}\right]\\ & =\frac{3}{x+1}+\frac{2x^2+1-3(x^2+x+1)}{(x+1)(x^2+x+1)}\\ & =\frac{3}{x+1}-\frac{x^2+3x+2}{(x+1)(x^2+x+1)}\\ & =\frac{3}{x+1}-\frac{x+2}{x^2+x+1}.\end{array}$$

上述过程中, 我们事先已可断定 $2x^2+1-3(x^2+x+1)$ 一定含有因式 $(x+1)$ , 这一事实也可帮助我们进行后面的计算 (因式分解部分).

例 11.5

例 11.5

设

$$\frac{x^3+x+1}{(x+1)(x^2+x+1)(x^2+x+2)}$$

求 $f$ 的最简分式.

解 易得

$${\frac{x^3+x+1}{(x^2+x+1)(x^2+x+2)}|}_{x+1=0}=-\frac{1}{2}.$$

当 $x^2+x+1=0$ 时，

$$\frac{x^3+x+1}{(x+1)(x^2+x+2)}=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{x}{x(x+1)}=1-x.$$

当 $x^2+x+2=0$ 时，

$$\frac{x^3+x+1}{(x+1)(x^2+x+1)}=\frac{3}{-(x+1)}=\frac{3x}{-x(x+1)}=\frac{3x}{2}.$$

因此，

$$f(x)=-\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1-x}{x^2+x+1}+\frac{3x}{2(x^2+x+2)}.$$

例 11.6

例 11.6

设 $f(x)=\frac{x^2+1}{(x-1)(x^2-x+1{)}^6}$ , 求 $f$ 的最简分式.

解 易得当 $x^2-x+1=0$ 时，

$$\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{x}{x-1}=\frac{x^2}{x(x-1)}=\frac{x-1}{-1}=-x+1,\text{\hspace{1em}(11.1)}$$ $$\frac{1}{x-1}=\frac{x}{x(x-1)}=\frac{x}{-1}=-x,\text{\hspace{1em}(11.2)}$$

于是由 (11.1) 式可得

$$\frac{x^2+1}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{2}{x-1}+\frac{-x+1}{x^2-x+1},\text{\hspace{1em}(11.3)}$$

而由 (11.2) 式可得

$$\frac{1}{(x-1)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{1}{x-1}+\frac{-x}{x^2-x+1}.\text{\hspace{1em}(11.4)}$$

由此, 由 (11.3) 式并反复利用 (11.4) 式, 有

$$\begin{array}{rlr}f(x)& =\frac{1}{(x^2-x+1{)}^5}\left(\frac{2}{x-1}+\frac{-x+1}{x^2-x+1}\right)& \\ & =\frac{1}{(x^2-x+1{)}^4}\left[\frac{2}{x-1}+\frac{-2x}{x^2-x+1}+\frac{-x+1}{(x^2-x+1{)}^2}\right]& \\ & =\dots & =\frac{2}{x-1}-\frac{2x}{x^2-x+1}-\frac{2x}{(x^2-x+1{)}^2}-\frac{2x}{(x^2-x+1{)}^3}-\\ & \frac{2x}{(x^2-x+1{)}^4}-\frac{2x}{(x^2-x+1{)}^5}-\frac{x-1}{(x^2-x+1{)}^6}.& \end{array}$$

例 11.7

例 11.7

设

$$f(x)=\frac{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)(x^2+2x+2)},$$

求 $f$ 的最简分式.

解 易见 $f$ 的分子为 6 次多项式, 分母仅为 5 次多项式, 因而最简分式中含有多项式部分. 从本例来看, 这一部分仅与分子的前两项 $x^6+x^5$ 与分母的前两

项 $x^5-4x^4$ 有关, 我们有

$$x^6+x^5+\cdots =x(x^5-4x^4+\dots )+5(x^5-4x^4+\dots )+\dots .$$

由此易得

$$f(x)=x+5+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}+\frac{Dx+E}{x^2+2x+2},$$

其中

$$A={\frac{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}{(x-2)(x-3)(x^2+2x+2)}|}_{x=1}=\frac{7}{10},$$ $$B={\frac{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}{(x-1)(x-3)(x^2+2x+2)}|}_{x=2}=-\frac{127}{10},$$ $$C={\frac{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}{(x-1)(x-2)(x^2+2x+2)}|}_{x=3}=\frac{1093}{34},$$

而当 $x^2+2x+2=0$ 时，

$$\begin{array}{rl}Dx+E& =\frac{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\\ & =-\frac{5x}{34}-\frac{3}{85},\end{array}$$

从而

$$f(x)=x+5+\frac{7}{10(x-1)}-\frac{127}{10(x-2)}+\frac{1093}{34(x-3)}-\frac{\frac{5}{34}x+\frac{3}{85}}{x^2+2x+2}.$$

一般说来, 若原分式的分子、分母均为整系数多项式, 则最简分式中出现的系数中, 分母的素因子是有一定规律的. 通常同一个因子应该至少在两个地方出现. 例如因子 “2” 出现在四个地方, 因子 “5” 和因子 “17” 都分别出现在三个地方. 这也可作为判断计算是否有错误的一个参考.