问题 2021S11

依赖于

• 问题 2019A03
• 例 2.72

被以下题目直接调用

• 问题 2023S09

问题 2021S11

设 $S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ , $J=\left(\begin{array}{cc}O& I_n\\ -I_n& O\end{array}\right)$ .

(1) 证明: J 相似于 $\mathrm{diag}\{S,S,\cdots ,S\}$ ; (2) 设 $A\in M_{2n}(\mathbb{R})$，满足 $A^{\prime }J+JA=O$，证明： $e^{t{A}^{\prime }}J{e}^{tA}=J$; (3) 试求 ${\mathrm{e}}^{tJ}$ .

解答

(1) 设 $e_1,e_2,\cdots ,e_{2n}$ 是 $2n$ 维的标准单位列向量，置换矩阵

$$P=(e_1,e_{n+1},e_2,e_{n+2},\cdots ,e_n,e_{2n}).$$

由问题 2019A03 可知 $P$ 是正交阵，并且不难验证

$$P^{\prime }JP=\mathrm{diag}\{S,S,\cdots ,S\}.$$

也可以利用有理标准型来证明。显然，$S$ 是多项式 ${\lambda }^2+1$ 的 Frobenius 块。由例 2.72 可知

$$\left|\lambda I_{2n}-J\right|=\left|\begin{array}{cc}\lambda I_n& -I_n\\ I_n& \lambda I_n\end{array}\right|=\left|({\lambda }^2+1)I_n\right|=({\lambda }^2+1{)}^n.$$

注意到 $J^2+I_{2n}=O$，故 $J$ 的极小多项式为 ${\lambda }^2+1$。由于 ${\lambda }^2+1$ 是实数域上的不可约多项式，故 $J$ 的不变因子组为

$$1,\cdots ,1,{\lambda }^2+1,\cdots ,{\lambda }^2+1.$$

再由有理标准型理论可知，$J$ 相似于

$$F=\mathrm{diag}\{F({\lambda }^2+1),\cdots ,F({\lambda }^2+1)\}=\mathrm{diag}\{S,\cdots ,S\}.$$

(2) 由 $A^{\prime }J+JA=O$ 可得 $J^{-1}{A}^{\prime }J=-A$。注意到相似关系与幂级数相容以及 ${\mathrm{e}}^{-A}=({\mathrm{e}}^A{)}^{-1}$，故

$$({\mathrm{e}}^{tA}{)}^{-1}={\mathrm{e}}^{-tA}={\mathrm{e}}^{J^{-1}(t{A}^{\prime })J}=J^{-1}{\mathrm{e}}^{t{A}^{\prime }}J.$$

于是

$${\mathrm{e}}^{t{A}^{\prime }}J{\mathrm{e}}^{tA}=J.$$

(3) 由 $J^2=-I_{2n}$ 可知

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^{tJ}& =I_{2n}+\frac{tJ}{1!}+\frac{(tJ{)}^2}{2!}+\frac{(tJ{)}^3}{3!}+\frac{(tJ{)}^4}{4!}+\cdots \\ & =\left(1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}+\cdots \right)I_{2n}+\left(\frac{t}{1!}-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\frac{t^7}{7!}+\cdots \right)J\\ & =\cos t{I}_{2n}+\sin tJ.\end{array}$$