第 7 章解答题 12

依赖于

• 例 7.72

被以下题目直接调用

• 第 7 章解答题 13

第 7 章解答题 12

设 $n$ 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda )$，复系数多项式 $g(\lambda )$ 满足
$(f(g(\lambda )),g^{\prime }(\lambda ))=1$。证明：存在 $n$ 阶复方阵 $B$，使得 $g(B)=A$。

解答

设 $P$ 为非异阵，使得
$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k)\}$ 为 Jordan 标准型，
我们先对 Jordan 块来证明结论。任取多项式方程 $g(\lambda )-{\lambda }_i=0$ 的根 ${\mu }_i$，
即 $g({\mu }_i)={\lambda }_i$，从而 $f(g({\mu }_i))=f({\lambda }_i)=0$。由 $f(g(\lambda ))$ 与
$g^{\prime }(\lambda )$ 互素可知它们无公共根，从而 $g^{\prime }({\mu }_i)\ne 0$。经计算可得

$$g(J_{r_i}({\mu }_i))=\left(\begin{array}{cccc}g({\mu }_i)& g^{\prime }({\mu }_i)& \cdots & \ast \\ & g({\mu }_i)& \ddots & ⋮\\ & & \ddots & g^{\prime }({\mu }_i)\\ & & & g({\mu }_i)\end{array}\right),$$

于是 $g(J_{r_i}({\mu }_i))$ 的特征值全为 ${\lambda }_i$，其几何重数等于
$r_i-r(g(J_{r_i}({\mu }_i))-{\lambda }_{i}I)=r_i-(r_i-1)=1$。因此
$g(J_{r_i}({\mu }_i))$ 的 Jordan 标准型中只有一个 Jordan 块，即
$g(J_{r_i}({\mu }_i))$ 相似于 $J_{r_i}({\lambda }_i)$。设 $Q_i$ 为非异阵，使得
$J_{r_i}({\lambda }_i)=Q_{i}g(J_{r_i}({\mu }_i))Q_i^{-1}=g(Q_i{J}_{r_i}({\mu }_i)Q_i^{-1})$，
故结论对 Jordan 块成立。令
$Q=\mathrm{diag}\{Q_1,\cdots ,Q_k\}$，
$C=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\mu }_1),\cdots ,J_{r_k}({\mu }_k)\}$，则

$$J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k)\}=Qg(C)Q^{-1}=g(QC{Q}^{-1}),$$

故结论对 Jordan 标准型也成立。最后我们有

$$A=PJ{P}^{-1}=Pg(QC{Q}^{-1})P^{-1}=g(PQC{Q}^{-1}{P}^{-1}).$$

令 $B=PQC{Q}^{-1}{P}^{-1}$，则 $A=g(B)$，故结论对一般矩阵也成立。本题是例 7.72 的推广。