3. 幂等变换投影

这篇笔记中，我们介绍另一种极为常见的投影: 幂等变换投影

幂等变换定义

设 $V$ 是一个线性空间，$P$ 是 $V$ 上的一个线性变换。如果 $P$ 满足：

$$P^2=P$$

那么 $P$ 就被称为幂等变换，同时也称 $P$ 是 $V$ 上的一个投影变换

对于任意向量 $x\in V$，我们可以写成

$$x=Px+(I-P)x$$

第一部分 $Px$：显然属于 $P$ 的像空间 $\mathrm{Im}P$ 第二部分 $(I-P)x$：如果我们对它再施加一次 $P$，会得到 $P(x-Px)=Px-P^{2}x$。因为 $P^2=P$，所以 $Px-Px=0$。这意味着 $(I-P)x$ 属于 $P$ 的核空间 $\mathrm{Ker}P$。 因此任何一个幂等变换 $P$，都唯一对应着一个空间的直和分解：

$$V=\mathrm{Im}P\oplus \mathrm{Ker}P$$

变换 $P$ 的作用，就是把任意向量 $x$ 沿着平行于 $\mathrm{Ker}P$ 的方向，投影到 $\mathrm{Im}P$ 上(从 $x$ 到 $Px$ 的“连线向量”（也就是 $x-Px$）都属于 $\mathrm{Ker}P$)

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下面看几个例子

幂等变换投影

设 $\sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的投影变换, 即 ${\sigma }^2=\sigma$. 证明: 若 $\forall \alpha \in V$, 都有 $|\sigma (\alpha )|\le |\alpha |$, 则 $\ker \sigma \perp \text{Im }\sigma$.

方法 1: 用反证法. 假设 $\ker \sigma \perp \text{Im }\sigma$ 不成立, 则存在 $\alpha \in \text{Im }\sigma$ 及 $\beta \in \ker \sigma$, 使得 $(\alpha ,\beta )\ne 0$. 作与 $\beta$ 正交的向量 $\xi =\alpha -\frac{(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}\beta$, 易知

$$(\xi ,\xi )=(\alpha ,\alpha )-\frac{(\alpha ,\beta {)}^2}{(\beta ,\beta )}<(\alpha ,\alpha ).$$

此外, 设 $\eta \in V$ 使得 $\sigma (\eta )=\alpha$, 利用 ${\sigma }^2=\sigma$, 可知 $\sigma (\alpha )=\alpha$. 又 $\sigma (\beta )=0$, 所以 $\sigma (\xi )=\alpha$, 从而 $(\sigma (\xi ),\sigma (\xi ))>(\xi ,\xi )$. 此与题设矛盾. 因此 $\ker \sigma \perp \text{Im }\sigma$.

方法 2: 任取 $\alpha \in \ker \sigma$ 及 $\beta \in \text{Im }\sigma$, 则 $\sigma (\alpha )=0$, 且存在 $\gamma \in V$ 使得 $\beta =\sigma (\gamma )$. 对任意实数 $x\in R$, 令 $\xi =\alpha +x\beta$, 则由 ${\sigma }^2=\sigma$ 得 $\sigma (\xi )=\sigma (\alpha +x\beta )=x\sigma (\gamma )=x\beta$. 对 $\xi$ 利用题设条件, 有

$$x^2|\beta {|}^2\le |\alpha +x\beta {|}^2=|\alpha {|}^2+x^2|\beta {|}^2+2x(\alpha ,\beta ),$$

所以 $|\alpha {|}^2+2x(\alpha ,\beta )\ge 0$. 注意到 $x\in R$ 的任意性, 于是有 $(\alpha ,\beta )=0$. 因此 $\ker \sigma \perp \text{Im }\sigma$.

注: 本题具有明显的几何意义: 首先由 ${\sigma }^2=\sigma$, 知 $V=\text{Im }\sigma \oplus \ker \sigma$ , 且 $\sigma$ 是由 $V$ 到 $\text{Im }\sigma$ 的投影变换. 注意到 $\forall \alpha \in V$, 都有 $|\sigma (\alpha )|\le |\alpha |$, 即像 $\sigma (\alpha )$ 的长度不超过原像 $\alpha$ 的长度, 可以画图，不管 $\text{Im }\sigma ,\ker \sigma$ 的夹角是锐角还是钝角，总能找到 $\alpha$ 使得 $|\sigma (\alpha )|>|\alpha |$ ,这表明只能是 $\text{Im }\sigma \perp \ker \sigma$.

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下面来看3个例题，其中例3是例2的推广，例2是例1的推广，3个例子中的构造均含有明显的几何意义: $\alpha$ 减去其在 $\mathrm{Im}{\phi }_i$ 上的投影，剩余的部分是 $\mathrm{Ker}{\phi }_i$ 上的分量，在例3中，可以看到这类问题不用在整体上考虑，只需考虑在 $\mathrm{Ker}{\phi }_i$ 上的不断投影就足够了

例1

设 ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_m$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 且适合条件: ${\phi }_i^2={\phi }_i,{\phi }_i{\phi }_j=0(i\ne j),\text{Ker}{\phi }_1\cap \cdots \cap \text{Ker}{\phi }_m=0$. 求证: $V$ 是 $\text{Im}{\phi }_1,\dots ,\text{Im}{\phi }_m$ 的直和.

证明: 任取 $\alpha \in \text{Im}{\phi }_i\cap ({\sum }_{j\ne i}\text{Im}{\phi }_j)$, 设 $\alpha ={\phi }_i(\beta )$, 其中 $\beta \in V$, 则 ${\phi }_i(\alpha )={\phi }_i^2(\beta )={\phi }_i(\beta )=\alpha$. 又可设

$$\alpha ={\phi }_1({\alpha }_1)+\cdots +{\phi }_{i-1}({\alpha }_{i-1})+{\phi }_{i+1}({\alpha }_{i+1})+\cdots +{\phi }_m({\alpha }_m),$$

于是

$$\alpha ={\phi }_i(\alpha )={\phi }_i({\phi }_1({\alpha }_1)+\cdots +{\phi }_{i-1}({\alpha }_{i-1})+{\phi }_{i+1}({\alpha }_{i+1})+\cdots +{\phi }_m({\alpha }_m))=0.$$

因此 $\text{Im}{\phi }_i\cap ({\sum }_{j\ne i}\text{Im}{\phi }_j)=0$. 对 $V$ 中任一向量 $\alpha$ 以及任意的 $i$, 有

$${\phi }_i(\alpha -({\phi }_1(\alpha )+\cdots +{\phi }_m(\alpha )))={\phi }_i(\alpha )-{\phi }_i^2(\alpha )=0,$$

因此

$$\alpha -({\phi }_1(\alpha )+\cdots +{\phi }_m(\alpha ))\in \text{Ker}{\phi }_1\cap \cdots \cap \text{Ker}{\phi }_m=0,$$

从而 $\alpha -({\phi }_1(\alpha )+\cdots +{\phi }_m(\alpha ))=0$, 即 $\alpha ={\phi }_1(\alpha )+\cdots +{\phi }_m(\alpha )$, 于是 $V=\text{Im}{\phi }_1+\cdots +\text{Im}{\phi }_m$. 这就证明了 $V$ 是 $\text{Im}{\phi }_1,\dots ,\text{Im}{\phi }_m$ 的直和.

例

设 ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_k$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足条件 ${\phi }_i^2={\phi }_i(1\le i\le k)$, ${\phi }_i{\phi }_j=0(i\ne j)$. 求证:

$$V=\text{Im}{\phi }_1\oplus \cdots \oplus \text{Im}{\phi }_k\oplus \left(\bigcap _{i=1}^k\text{Ker}{\phi }_i\right).$$

令 ${\phi }_{k+1}=I-({\phi }_1+\cdots +{\phi }_k)$, 容易验证 ${\phi }_i{\phi }_{k+1}={\phi }_{k+1}{\phi }_i=0(1\le i\le k)$, ${\phi }_{k+1}^2={\phi }_{k+1}$, $\text{Ker}{\phi }_1\cap \cdots \cap \text{Ker}{\phi }_k\cap \text{Ker}{\phi }_{k+1}=0$ 以及 $\text{Im}{\phi }_{k+1}={\bigcap }_{i=1}^k\text{Ker}{\phi }_i$, 于是由例 1 即得结论.

例

设 ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_k$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足条件 ${\phi }_i^2={\phi }_i(1\le i\le k)$, ${\phi }_i{\phi }_j=0(1\le i<j\le k)$. 求证:

$$V=\text{Im}{\phi }_1\oplus \cdots \oplus \text{Im}{\phi }_k\oplus \left(\bigcap _{i=1}^k\text{Ker}{\phi }_i\right).$$

step1: 证明直和 根据直和的充要条件，只要证明零向量分块表示唯一即可. 设

$$0={\phi }_1({\alpha }_1)+{\phi }_2({\alpha }_2)+\cdots +{\phi }_k({\alpha }_k)+\beta ,$$

其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k\in V,\beta \in {\bigcap }_{i=1}^k\text{Ker}{\phi }_i$. 上式两边同时作用 ${\phi }_1$, 注意到 ${\phi }_1{\phi }_i=0(i>1)$ 以及 ${\phi }_1(\beta )=0$, 故 $0={\phi }_1^2({\alpha }_1)={\phi }_1({\alpha }_1)$, 于是上式右边可以去掉 ${\phi }_1({\alpha }_1)$.上式两边再同时作用 ${\phi }_2$, 同理可得 ${\phi }_2({\alpha }_2)=0$. 依次这样做下去, 最后可得

$${\phi }_1({\alpha }_1)={\phi }_2({\alpha }_2)=\cdots ={\phi }_k({\alpha }_k)=\beta =0.$$

step2: 证明可分解性 对任意的 $\alpha \in V$, 容易验证

$$\begin{array}{rl}\alpha & ={\phi }_1(\alpha )+{\phi }_2(I_V-{\phi }_1)(\alpha )+{\phi }_3(I_V-{\phi }_2)(I_V-{\phi }_1)(\alpha )\\ & \\ & +\cdots +{\phi }_k(I_V-{\phi }_{k-1})\cdots (I_V-{\phi }_1)(\alpha )+(I_V-{\phi }_k)(I_V-{\phi }_{k-1})\cdots (I_V-{\phi }_1)(\alpha ),\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{rl}{\phi }_1(\alpha )& \in \text{Im}{\phi }_1,\\ {\phi }_2(I_V-{\phi }_1)(\alpha )& \in \text{Im}{\phi }_2,\\ {\phi }_3(I_V-{\phi }_2)(I_V-{\phi }_1)(\alpha )& \in \text{Im}{\phi }_3,\\ & \cdots \cdots ,\\ {\phi }_k(I_V-{\phi }_{k-1})\cdots (I_V-{\phi }_1)(\alpha )& \in \text{Im}{\phi }_k,\\ (I_V-{\phi }_k)(I_V-{\phi }_{k-1})\cdots (I_V-{\phi }_1)(\alpha )& \in \bigcap _{i=1}^k\text{Ker}{\phi }_i\end{array}$$

于是就完成了证明

step2 的分解思想是, 依次使用幂等变换 ${\phi }_i$ 的投影分解，不断在核上进行迭代投影: $\alpha ={\phi }_1(\alpha )+(I_V-{\phi }_1)(\alpha )$, $(I_V-{\phi }_1)(\alpha )={\phi }_2(I_V-{\phi }_1)(\alpha )+(I_V-{\phi }_2)(I_V-{\phi }_1)(\alpha )$, $\dots$; 就能得到要求的分解式