Runge逼近定理

我们知道著名的 Weierstrass（第一）逼近定理（1885）：

Weierstrass 第一逼近定理.
设 $f$ 是闭区间 $[a,b]$ 上的连续实值函数, 则对任意 $\epsilon >0$, 存在多项式 $P(x)$, 使得

$$\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f(x)-P(x)|<\epsilon .$$

也就是说, 闭区间上的连续函数可以被多项式一致逼近.

我们自然要问, 这对全纯函数正确吗？也就是考虑

断言. 设 $f$ 在紧集 $K\subseteq \mathbb{C}$ 上全纯（即在 $K$ 的开邻域上全纯）, 是否存在复多项式 $P(z)$ 一致逼近全纯函数？

的正确性. 事实上, 这是错误的. 考察 $f(z):=1/z$ 在 $K=B(0,1)$. 则 $f$ 在 $K$ 的开邻域全纯（例如圆环 $\frac{1}{2}<|z|<\frac{3}{2}$ 内全纯）, 却不存在任何多项式序列能在 $K$ 上一致逼近 $f$.

若其不然, 设多项式序列 $\{P_n(z)\}$ 使得 ${\max }_{|z|=1}|P_n(z)-f(z)|\to 0(n\to \infty )$. 但

$$2\pi \mathrm{i}={\oint }_{|z|=1}f(z)\mathrm{d}z=\underset{n\to \infty }{\lim }{\oint }_{|z|=1}{P}_n(z)\mathrm{d}z=0,$$

矛盾.

究其原因, 还是因为拓扑的障碍. 单位圆周的补集有两个连通分支（单位圆内部和外部）, 连通性被破坏, 多项式逼近失效.

同一年, Runge 逼近定理指出, 在一定条件下, 刚性很强的全纯函数可以被有理函数一致逼近, 甚至可以选为多项式.

定理 0 (Runge 逼近定理). 设 $K$ 为 $\mathbb{C}$ 中的紧子集, $E$ 为 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K$ 的一个子集, 且与 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K$ 的每个连通分支相交. 若 $f$ 在 $K$ 的邻域内解析, 则存在仅以 $E$ 中的点为极点的有理函数序列 $\{f_n\}$, 使得 $f_n$ 在 $K$ 上一致收敛于 $f$.

Runge 逼近定理的证明较为复杂, 笔者目前见过三种：

1. 来自 Stein, 也是较为古典的证明方法, 比较复杂；
2. 来自 Conway GTM11 (1978), 实际选自美国数学月刊：A Short Proof of Runge’s Theorem, Sandy Grabiner, The American Mathematical Monthly, Vol. 83, No. 10 (Dec., 1976), pp. 807-808 (2 pages), https://doi.org/10.2307/2318689. 说是比较 short, 实际上省略了很多细节, Conway 详细补全了这些细节, 但是仍然比较 dirty；
3. 来自 Conway GTM96 (1990), 也见于 Rudin 的 Real Analysis and Complex Analysis, 采用了一些高级的实分析结果以及泛函分析, 较为优美, 这是本篇文章所记录的.

基于 Hahn-Banach 定理和 Riesz 表示定理的证明

以下内容整理自 Conway, 虽然不如 Rudin 的证明简洁, 但是细节上更加完善.

定理 1 (Hahn-Banach 定理的重要推论). 设 $\mathcal{X}$ 是赋范向量空间, $\mathcal{M}$ 是 $\mathcal{X}$ 的线性子空间. 则

$$\overline{\mathcal{M}}=\bigcap _{f\in {\mathcal{X}}^{\ast },f{|}_{\mathcal{M}}=0}\ker f=\bigcap _{f\in M^{\perp }}\ker (f)=\{x\in \mathcal{X}:f(x)=0,\forall f\in M^{\perp }\},$$

其中 $M^{\perp }=\{f\in {\mathcal{X}}^{\ast }:f{|}_{\mathcal{M}}=0\}$ 称为 $\mathcal{M}$ 的零化子 (annihilator).

定义空间

$$R(K,E):=\mathrm{span}\left\{\frac{1}{(z-\alpha {)}^n}:\alpha \in E,n\ge 1\right\},$$

即极点在 $E$ 中的有理函数, 再记 $\overline{\mathcal{M}}:={\overline{R(K,E)}}^{C(K)}$, 即 $R(K,E)$ 在 $C(K)$ 中的闭包, 则根据 Hahn-Banach 定理推论, 设 $f$ 在 $K$ 开邻域内全纯, 只需证

Claim 1. 对任意有界线性泛函 $\Lambda :C(K)\to \mathbb{C}$, 且对任意 $R\in \overline{\mathcal{M}}$, $\Lambda (R)=0$, 则 $\Lambda (f)=0$.

而我们有复 Borel 测度与有界线性泛函的 Riesz 表示定理：

定理 (Riesz 表示定理). 若 $X$ 是局部紧 Hausdorff 空间, 则定义在 $C_0(X)$ 上的每一个有界线性泛函 $\Lambda$ 都可由唯一的正则复 Borel 测度 $\mu$ 表示, 即对任意 $f\in C_0(X)$, 有

$$\Lambda (f)={\int }_{X}f\mathrm{d}\mu .$$

证明. 见 big Rudin, Theorem 6.19. $\square$

利用强大的 Riesz 表示定理, 我们将 Claim 1 化归为下面的待证命题：

Claim 2. 若 $K$ 上的正则复 Borel 测度满足 ${\int }_{K}r\mathrm{d}\mu =0$ 对所有 $r\in R(K,E)$ 成立, 则必有 ${\int }_{K}f\mathrm{d}\mu =0$.

因此, 我们的目标是：从“$\mu$ 与所有允许有理函数正交”推出“$\mu$ 与 $f$ 正交”.

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第一步：定义 Cauchy 型积分 $\hat{\mu }(w)$

对任意正则复 Borel 测度 $\mu$, 定义其 Cauchy 型积分为：

$$\hat{\mu }(w):={\int }_K\frac{\mathrm{d}\mu (z)}{z-w},w\in {\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K.$$

命题 2 ($\hat{\mu }$ 的性质).
若 $\mu$ 是正则复 Borel 测度, 则：

1. $\hat{\mu }\in L_{\text{loc}}^1(\mathbb{C},\lambda )$, 其中 $\lambda$ 是平面上的 Lebesgue 测度；
2. $\hat{\mu }$ 在 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K$ 上解析；
3. $\hat{\mu }(\infty )=0$.

证明.

• 局部可积性：
  对任意 $R>0$, 取 $\rho >0$ 使得 $D(0;R)\subseteq D(z;\rho )$ 对所有 $z\in K$ 成立. 则：

  $$\begin{array}{rl}{\int }_{D(0;R)}|\hat{\mu }(w)|\mathrm{d}\lambda (w)& ={\int }_{D(0;R)}{\int }_K\frac{\mathrm{d}|\mu |(z)}{|z-w|}\mathrm{d}\lambda (w)\\ & ={\int }_K{\int }_{B(0;R)}\frac{\mathrm{d}\lambda (w)}{|z-w|}\mathrm{d}|\mu |(z)\\ & \le {\int }_{K}2\pi \rho \mathrm{d}|\mu |(z)=2\pi \rho \Vert \mu \Vert .\end{array}$$

  故 $\hat{\mu }<\infty$ $\lambda$-a.e., 且局部可积.

• 解析性：
  对 $w_0\in \mathbb{C}\setminus K$, 计算差商：

  $$\frac{\hat{\mu }(w)-\hat{\mu }(w_0)}{w-w_0}={\int }_K\frac{\mathrm{d}\mu (z)}{(z-w)(z-w_0)}.$$

  当 $w\to w_0$, 被积函数一致收敛到 $(z-w_0{)}^{-2}$, 故导数存在：

  $${\hat{\mu }}^{\prime }(w_0)={\int }_K\frac{\mathrm{d}\mu (z)}{(z-w_0{)}^2}.\text{\hspace{1em}(*)}$$

  同样的方法可以推得对 $w_0\in \mathbb{C}\setminus K$, 有：

  $${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}\right)}^n\hat{\mu }(w_0)=n!{\int }_K\frac{\mathrm{d}\mu (z)}{(z-w_0{)}^{n+1}}.$$

  所以 $\hat{\mu }$ 在 $\mathbb{C}\setminus K$ 上解析.

• 无穷远处行为：
  当 $|w|\to \infty$, 有 $\hat{\mu }(w)\sim \frac{1}{w}{\int }_K\mathrm{d}\mu (z)\to 0$, 故 $\infty$ 是可去奇点, $\hat{\mu }$ 在 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K$ 上解析. 事实上, 当 $|w|>{\max }_{z\in K}|z|$, 有

  $$\hat{\mu }(w)={\int }_K\frac{\mathrm{d}\mu (z)}{z-w}=-\frac{1}{w}{\int }_K{\left(1-\frac{z}{w}\right)}^{-1}\mathrm{d}\mu (z)=-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{w^{n+1}},$$

  其中 $a_n:={\int }_K{z}^n\mathrm{d}\mu (z)$.

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第二步：利用正交条件推出 $\hat{\mu }\equiv 0$

设 $\mu$ 是正则复 Borel 测度, 且

$${\int }_{K}r\mathrm{d}\mu =0,r\in R(K,E).$$

设 $U$ 是 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K$ 的一个连通分支, $w_0\in E\cap U$.

➤ 情况一：$w_0\ne \infty$

考虑函数 $g_n(z)=\frac{1}{(z-w_0{)}^{n+1}}\in R(K,E)$, 由假设,

$${\int }_K{g}_n(z)\mathrm{d}\mu (z)=0.$$

由 $(\ast )$ 知

$${\hat{\mu }}^{(n)}(w_0)=n!{\int }_K\frac{\mathrm{d}\mu (z)}{(z-w_0{)}^{n+1}}=0.$$

所以 $\hat{\mu }$ 在 $w_0$ 处所有导数为零, 故 $\hat{\mu }{|}_U\equiv 0$.

➤ 情况二：$w_0=\infty$

此时考虑多项式 $g_n(z)=z^n$, 它们是极点仅在 $\infty$ 的有理函数, 由假设知

$$a_n={\int }_K{z}^n\mathrm{d}\mu (z)=0.$$

由 $(\ast )$ 知

$$\hat{\mu }(w)=-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{w^{n+1}}=0.$$

故 $\hat{\mu }\equiv 0$ 在包含 $\infty$ 的分支 $U$ 上.

因此, $\hat{\mu }(w)=0$ 对所有 $w\in {\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K$ 成立.

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第三步：回到原问题, 证明 ${\int }_{K}f\mathrm{d}\mu =0$

我们还需要一个某种意义上 Cauchy 积分定理的反向命题：

命题 3. 设 $K$ 为区域 $G$ 中的紧致子集, 则存在直线段 ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n$ 位于 $G-K$ 中, 使得对于 $H(G)$（即在 $G$ 内全纯的函数）中的每一个函数 $f$, 都有

$$f(z)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_k}\frac{f(w)}{w-z}\mathrm{d}w$$

对所有 $z\in K$ 成立, 这些直线段构成有限个闭合多边形.

证明. 见 GTM 11 (Conway 1978), Proposition 8.1.1. $\square$

已知 $f\in H(G)$, $G\supseteq K$ 为开集. 由前述命题, 存在有限条直线段 ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n\subset G\setminus K$, 使得对任意 $z\in K$：

$$f(z)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_k}\frac{f(w)}{w-z}\mathrm{d}w.$$

于是由 Fubini 定理交换积分次序：

$$\begin{array}{rl}{\int }_{K}f(z)\mathrm{d}\mu (z)& =\sum _{k=1}^n\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_K\left[{\int }_{{\gamma }_k}\frac{f(w)}{w-z}\mathrm{d}w\right]\mathrm{d}\mu (z)\\ & =\sum _{k=1}^n\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_k}f(w)\left[{\int }_K\frac{\mathrm{d}\mu (z)}{w-z}\right]\mathrm{d}w\\ & =\sum _{k=1}^n\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_k}f(w)\cdot \hat{\mu }(w)\mathrm{d}w.\end{array}$$

但前面已证 $\hat{\mu }(w)=0$ 对所有 $w\in {\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K$ 成立, 而 ${\gamma }_k\subseteq G\setminus K\subseteq {\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K$, 故 $\hat{\mu }(w)=0$ 在每条 ${\gamma }_k$ 上成立！因此

$${\int }_{K}f\mathrm{d}\mu =0,$$

证毕. $\square$

Runge 逼近定理的一些推论

首先, 我们可以将紧集上的 Runge 定理推广到开集上：

推论 4. 设 $G$ 为复平面上的开集, $E$ 为 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus G$ 的子集, 且 $E$ 与 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus G$ 的每个连通分支都相交. 记 $R(G,E)$ 为所有极点位于 $E$ 中的有理函数构成的集合, 将其视为 $H(G)$ 的子空间. 若 $f\in H(G)$, 则存在序列 $\{R_n\}\subseteq R(G,E)$, 使得在 $H(G)$ 中 $f=\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n$, 即 $R(G,E)$ 在 $H(G)$ 中稠密.

证明. 任取紧集 $K\subseteq G$ 与 $\epsilon >0$, 需证明存在 $R\in R(G,E)$, 使得对所有 $z\in K$, 有

$$|f(z)-R(z)|<\epsilon .$$

由 $\mathbb{C}$ 中开集的 $\sigma$-紧性, 存在紧集 $K_1$ 满足 $K\subseteq K_1\subseteq G$, 且 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K_1$ 的每个连通分支都包含 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus G$ 的一个连通分支. 因此 $E$ 与 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K_1$ 的每个连通分支都相交. 由 Runge 定理, 结论得证. $\square$

注记 1. 推论 4 的条件可稍作加强, 只需 $E$ 的闭包 $\overline{E}$ 与 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus G$ 的每个连通分支相交即可, 不过证明略有麻烦, 我们简述思路：取一列紧集 $\{K_n{\}}_{n\ge 1}\subseteq G$ 满足 $K_n\subseteq \mathrm{Int}{K}_{n+1}$, ${\bigcup }_{n\ge 1}{K}_n=G$, ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K_n$ 的每个连通分支都与 $\mathbb{C}\setminus G$ 的某个连通分支相交. 事实上, 取

$$K_n:=\left\{z\in G:|z|\le n,d(z,{\mathbb{C}}_{\infty }\setminus G)\ge \frac{1}{n}\right\}.$$

此时可验证 $\overline{E}$ 与 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus K_n$ 的每个连通分支相交. 最后使用 Runge 定理.

注记 2. “$\overline{E}$ 与 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus G$ 的每个连通分支相交”这一条件不可弱化.

以去心平面 $G=\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 为例, 此时 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus G=\{0,\infty \}$. 假设该情形下可将 Runge 定理的条件弱化为 $E=\{\infty \}$, 则对任意 $n\ge 1$, 存在多项式 $p_n(z)$, 使得

$$\left|\frac{1}{z}-p_n(z)\right|<\frac{1}{n}$$

对所有满足 $\frac{1}{n}\le |z|\le n$ 的 $z$ 成立. 此时有

$$|1-z{p}_n(z)|\le \frac{|z|}{n}\le 1,\frac{1}{n}\le |z|\le n.$$

当 $|z|=n$ 时,

$$|p_n(z)|=\frac{1}{n}|z{p}_n(z)|\le \frac{1}{n}|z{p}_n(z)-1|+\frac{1}{n}\le \frac{2}{n}.$$

由最大模原理, 对所有 $|z|\le n$, 有

$$|p_n(z)|\le \frac{2}{n}.$$

特别地, 在 $|z|\le 1$ 上 $p_n(z)\to 0$ 一致成立, 这与 $(1)$ 矛盾. 因此 $E$ 必须取为 $\{0,\infty \}$.

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令 $E=\{\infty \}$, 并利用“仅在 $\infty$ 处有极点的有理函数是多项式”这一事实, 可得如下推论.

推论 5 (多项式一致逼近). 设 $G$ 为 $\mathbb{C}$ 的开集, 且 ${\mathbb{C}}_{\infty }\setminus G$ 连通, 则对任意解析函数 $f\in H(G)$, 存在多项式序列 $\{p_n\}$, 使得在 $H(G)$ 中 $f=\lim p_n$.

更为强大的 Mergelyan 定理

实际上, 我们还有一个更为强大的 Mergelyan 定理：

Mergelyan 定理. $K$ 是 $\mathbb{C}$ 中紧集, $\mathbb{C}\setminus K$ 连通, $f$ 在 $K$ 上连续且在 $K$ 的内部全纯, 则 $f$ 可被多项式一致逼近.

这个条件是相当弱的, 所以证明十分复杂, 可见 big Rudin, Theorem 20.5.

当 $K=[a,b]$ 时, 内部为空, 条件“在内部全纯”平凡成立, 这就是 Weierstrass 定理；而当 $f$ 在 $K$ 的邻域全纯时, 就回到 Runge 定理的多项式情形.