两种循环矩阵行列式计算

反向循环矩阵求行列式

反向循环矩阵

计算下面矩阵的行列式
$D_{n} = 123 ⋮ n 234 ⋮ 1 345 ⋮ 2 \dots \dots \dots \dots n 12 ⋮ n - 1 .$

当然可以使用传统的行列变换法，但这样会很麻烦，并且不美观，下面介绍一种高效简洁的做法

这种结构让我们想到循环矩阵，为此先来回顾一下相关内容

设循环矩阵：

A = a_{1} a_{n} ⋮ a_{2} a_{2} a_{1} ⋮ a_{3} a_{3} a_{2} ⋮ a_{4} \dots \dots \dots a_{n} a_{n - 1} ⋮ a_{1}

如果我们想要计算循环矩阵的行列式，逆矩阵，特征值，特征向量，最简便的方法就是将其表示为基础循环矩阵的多项式

记

J = (O 1 I_{n - 1} O)

则有 $J^{n} = I$ ， $J$ 的特征值为：

{1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}, 其中 ω = e^{2 π i / n} .

因此

A = a_{1} I_{n} + a_{2} J + a_{3} J^{2} + \dots + a_{n} J^{n - 1} .

记 $f (x) = a_{1} + a_{2} x + \dots + a_{n} x^{n - 1}$ ，从而 $A$ 的特征值为 ${f (1), f (w), ..., f (w^{n - 1})}$ ，行列式自然就是这些特征值的乘积

但是我们要求的 $D_{n}$ 中的元素排列规律并不符合认知中的循环矩阵。一个常用的方法是将元素重新排列，我们将矩阵的列向量进行一个翻转，这相当于右乘一个矩阵 $C$ (也可以翻转行向量，等价于左乘 $C$ )，其中 $C$ 为副对角元全为1，其他元素均为0的 $n$ 阶矩阵，并且

∣ C ∣ = (- 1)^{\frac{n ( n - 1 )}{2}}

于是我们不妨设一开始矩阵就是翻转后的矩阵，只需要在最后乘一个 $∣ C ∣$ 即可。此时的 $D_{n}$ 变为

D_{n} = n 12 ⋮ n - 1 \dots \dots \dots \dots 345 ⋮ 2 234 ⋮ 1 123 ⋮ n

这时的排列规律就与熟知的循环矩阵一致了

A = a_{1} a_{n} ⋮ a_{2} a_{2} a_{1} ⋮ a_{3} a_{3} a_{2} ⋮ a_{4} \dots \dots \dots a_{n} a_{n - 1} ⋮ a_{1}

将每个元素之间进行匹配，就有

a_{1} = n, a_{2} = n - 1, ..., a_{n} = 1

于是

D_{n} = n I_{n} + (n - 1) J + (n - 2) J^{2} + \dots + J^{n - 1} .

令 $f (λ) = λ^{n - 1} + ... + (n - 1) λ + n$ ，此时的行列式就是 $\prod_{k = 0}^{n - 1} f (w^{k})$ . 这个式子对于一般的反向循环矩阵也适用，只需要更改元素之间的匹配关系即可，在这里由于元素为具体的数字， $\prod_{k = 0}^{n - 1} f (w^{k})$ 可以具体计算出来：当 $λ \neq = 1$ 时

f (λ) = k = 1 \sum n k λ^{n - k} = j = 0 \sum n - 1 (n - j) λ^{j} = \frac{λ ^{n} - 1}{λ - 1} - \frac{( n - 1 ) λ ^{n + 1} - n λ ^{n} + λ}{( λ - 1 ) ^{2}}

代入 $w^{k} := w_{k} (k = 1, 2, ..., n - 1)$ ，由于 $w_{k}^{n} = 1$ ，于是

f (w_{k}) = \frac{n}{1 - w _{k}}

此时行列式的值为

∣ D_{n} ∣ = f (1) k = 1 \prod n - 1 f (w_{k}) = \frac{n ( n + 1 )}{2} n^{n - 1} k = 1 \prod n - 1 \frac{1}{1 - w _{k}}

另一方面，由因式分解

\frac{x ^{n} - 1}{x - 1} = k = 1 \prod n - 1 (x - w_{k})

两边同时令 $x \to 1$ ，左边利用洛必达法则，即可得到

k = 1 \prod n - 1 (1 - w_{k}) = n

因此

∣ D_{n} ∣ = \frac{n + 1}{2} n^{n - 1}

再乘以 $∣ C ∣ = (- 1)^{\frac{n ( n - 1 )}{2}}$ ，就是原本要求的行列式的值

∣ D_{n} ∣ = (- 1)^{\frac{n ( n - 1 )}{2}} \frac{n + 1}{2} n^{n - 1}

b-循环矩阵求行列式

b-循环矩阵

$A = a_{1} b a_{n} b a_{n - 1} ⋮ b a_{2} a_{2} a_{1} b a_{n} ⋮ b a_{3} a_{3} a_{2} a_{1} ⋮ b a_{4} \dots \dots \dots \dots a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{1} .$
其中 $b \neq = 0$ ，计算 $∣ A ∣$

想法依旧是将其表示为基础循环矩阵的多项式，这里只需要在原有的 $J$ 上做轻微改动

设 $J_{b} = (O b I_{n - 1} O)$ , 此时不难验证每乘一个 $J_{b}$ ，在往右移动的同时会多一个 $b$ ，最后就有 $J_{b}^{n} = b I_{n}$ ，令 $w_{1}, w_{2}, ..., w_{n}$ 是 $b$ 的所有 $n$ 次方根(即 $J_{b}$ 的 $n$ 个特征值), 作多项式 $f (λ) = a_{1} + a_{2} λ + a_{3} λ^{2} + \dots + a_{n} λ^{n - 1}$ , 于是 $A = a_{1} I_{n} + a_{2} J_{b} + a_{3} J_{b}^{2} + \dots + a_{n} J_{b}^{n - 1} = f (J_{b})$ ，从而

∣ A ∣ = f (w_{1}) f (w_{2}) \dots f (w_{n}) .

tags	数学, 行列式, 高等代数
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