三对角行列式

对于三对角行列式

$$T_n=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1& b_1& 0& \cdots & 0\\ c_1& a_2& b_2& \cdots & 0\\ 0& c_2& a_3& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\ 0& \cdots & 0& c_{n-1}& a_n\end{array}\right|.$$

此时可以写出 $T_n$ 的一般递推式

$$T_n=a_n{T}_{n-1}-c_{n-1}{b}_{n-1}{T}_{n-2}$$

如果 $a_n=a,c_n=c,b_n=b$，此时我们可以直接算出 $T_n$ 的值，现在

$$T_n=\left|\begin{array}{ccccc}a& b& 0& \cdots & 0\\ c& a& b& \cdots & 0\\ 0& c& a& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & b\\ 0& \cdots & 0& c& a\end{array}\right|.$$

规定 $T_1=a,T_2=a^2-bc$，并补充定义 $T_0=1$

1. 特征方程法（代数视角）

从线性代数角度看，求解 $T_n$ 等价于计算转移矩阵的 $n$ 次幂，进而涉及矩阵的相似对角化或 Jordan 标准型，但在实际计算中，我们可以直接利用特征方程法待定系数求解。 特征方程为：

$${\lambda }^2-a\lambda +bc=0$$

设该方程的两个根为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$。根据判别式 $\Delta =a^2-4bc$ 的符号，分为两种情形。 情形一：${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ (对应矩阵可对角化) 当 $\Delta \ne 0$ 时，通项公式具有如下形式：

$$T_n=C_1{\lambda }_1^n+C_2{\lambda }_2^n$$

通过计算可得 Toeplitz 三对角行列式的显式公式通常为：

$$T_n=\frac{{\lambda }_1^{n+1}-{\lambda }_2^{n+1}}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}$$

情形二：${\lambda }_1={\lambda }_2$ (对应 Jordan 块情形) 当 $\Delta =0$ 时，即 $a^2=4bc$，方程有重根 ${\lambda }_0=\frac{a}{2}$。此时通项公式形式修正为：

$$T_n=(C_1+C_{2}n){\lambda }_0^n$$

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2. 利用分析学的极限思想导出重根公式

在处理 ${\lambda }_1={\lambda }_2$ 的情形时，除了死记硬背 $(C_1+C_{2}n){\lambda }^n$ 的形式外，我们还可以利用连续性和极限的思想，从情形一直接推导得到情形二的结果。 当 ${\lambda }_1={\lambda }_2$ 时，我们可以固定 ${\lambda }_1$，令 ${\lambda }_2$ 趋近于 ${\lambda }_1$。此时，表达式呈现 $\frac{0}{0}$ 型。 利用洛必达法则 对 ${\lambda }_2$ 求导：

$$\begin{array}{rl}\underset{{\lambda }_2\to {\lambda }_1}{\lim }{T}_n& =\underset{{\lambda }_2\to {\lambda }_1}{\lim }\frac{{\lambda }_1^{n+1}-{\lambda }_2^{n+1}}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\\ & =\underset{{\lambda }_2\to {\lambda }_1}{\lim }\frac{-(n+1){\lambda }_2^n}{-1}\\ & =(n+1){\lambda }_1^n\end{array}$$

针对特征方程法中通项公式的推导

我们将三对角行列式的递推关系转化为矩阵形式：

$$\left(\begin{array}{c}{T}_n\\ T_{n-1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{T}_{n-1}\\ T_{n-2}\end{array}\right)$$

其中转移矩阵 $A$ 为：

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& -bc\\ 1& 0\end{array}\right)$$

通过迭代，我们可以得到：

$$\left(\begin{array}{c}{T}_n\\ T_{n-1}\end{array}\right)=A^{n-1}\left(\begin{array}{c}{T}_1\\ T_0\end{array}\right)$$

(注：通常定义 $T_0=1,T_1=a$) 问题的核心在于计算矩阵 $A$ 的 $k$ 次幂 $A^k$（此处 $k=n-1$）。我们需要求矩阵 $A$ 的特征值：

$$|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{cc}\lambda -a& bc\\ -1& \lambda \end{array}\right|={\lambda }^2-a\lambda +bc=0$$

下面分两种情况详细计算。

1. 当 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 时（相似对角化） 我们需要求解 $(A-{\lambda }_{i}I)v_i=0$。

$$A-{\lambda }_{i}I=\left(\begin{array}{cc}a-{\lambda }_i& -bc\\ 1& -{\lambda }_i\end{array}\right)$$

由第二行 $x-{\lambda }_{i}y=0$ 可知，特征向量可取 $v_i=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_i\\ 1\end{array}\right)$。 于是相似变换矩阵 $P$ 及其逆矩阵 $P^{-1}$ 为：

$$P=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& {\lambda }_2\\ 1& 1\end{array}\right)$$ $$P^{-1}=\frac{1}{\det (P)}\text{adj}(P)=\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(\begin{array}{cc}1& -{\lambda }_2\\ -1& {\lambda }_1\end{array}\right)$$

根据相似对角化原理 $A=P\Lambda P^{-1}$，有 $A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$：

$$\begin{array}{rl}{A}^k& =\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& {\lambda }_2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1^k& 0\\ 0& {\lambda }_2^k\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -{\lambda }_2\\ -1& {\lambda }_1\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1^{k+1}& {\lambda }_2^{k+1}\\ {\lambda }_1^k& {\lambda }_2^k\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -{\lambda }_2\\ -1& {\lambda }_1\end{array}\right)\end{array}$$

代回递推式 $\left(\begin{array}{c}{T}_n\\ T_{n-1}\end{array}\right)=A^{n-1}\left(\begin{array}{c}{T}_1\\ T_0\end{array}\right)$，$T_n$ 是 $A^{n-1}$ 元素的线性组合。 最终得到

$${\mathbf{T}}_{\mathbf{n}}=\frac{{\mathbf{\lambda }}_1^{\mathbf{n}+1}-{\mathbf{\lambda }}_2^{\mathbf{n}+1}}{{\mathbf{\lambda }}_1-{\mathbf{\lambda }}_2}$$

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2. 当 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda$ 时（Jordan 标准型）

此时特征方程判别式 $\Delta =a^2-4bc=0$，即 $bc={\lambda }^2,a=2\lambda$。

矩阵 $A$ 只有一个特征值 $\lambda$，且 $A$ 不可对角化（除非 $bc=0$，那是平凡情况）。我们需要使用 Jordan 标准型。 目标是找到 $P$ 使得 $P^{-1}AP=J=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$。 求特征向量 $v_1$： $(A-\lambda I)v_1=0⟹\left(\begin{array}{cc}\lambda & -{\lambda }^2\\ 1& -\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$。取 $v_1=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 1\end{array}\right)$。 求广义特征向量 $v_2$：满足 $(A-\lambda I)v_2=v_1$。

$$\left(\begin{array}{cc}\lambda & -{\lambda }^2\\ 1& -\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 1\end{array}\right)$$

由第二行 $x-\lambda y=1$，令 $y=0$，则 $x=1$。取 $v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$。 于是变换矩阵 $P$ 为：

$$P=(v_1,v_2)=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

其逆矩阵为（$\det (P)=-1$）：

$$P^{-1}=-1\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right)$$

计算 Jordan 块的幂 $J^k$ 这是一个经典结论，对于二阶 Jordan 块：

$$J=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)⟹J^k=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^k& k{\lambda }^{k-1}\\ 0& {\lambda }^k\end{array}\right)$$

计算 $A^k$

$$\begin{array}{rl}{A}^k& =P{J}^k{P}^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^k& k{\lambda }^{k-1}\\ 0& {\lambda }^k\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^{k+1}& k{\lambda }^k+{\lambda }^k\\ {\lambda }^k& k{\lambda }^{k-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}(k+1){\lambda }^k& -k{\lambda }^{k+1}\\ k{\lambda }^{k-1}& -k{\lambda }^k+{\lambda }^k\end{array}\right)\end{array}$$

将 $A^{n-1}$ 代回 $T_n$ 的表达式，最终得到

$${\mathbf{T}}_{\mathbf{n}}=(\mathbf{n}+1){\mathbf{\lambda }}_1^{\mathbf{n}}$$