例 10.7

依赖于

例 10.6
例 10.5

被以下题目直接调用

例 10.8

例 10.7

设 $V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，将 $V$ 看成是 $V^{*}$ 的对偶空间。求证：
$(V_{1}^{⊥})^{⊥} = V_{1}, (V_{1} \cap V_{2})^{⊥} = V_{1}^{⊥} + V_{2}^{⊥} .$

解答

证明显然 $V_{1} \subseteq (V_{1}^{⊥})^{⊥}$ 。由例 10.6 可知 $dim V_{1}^{⊥} = n - dim V_{1}$ ，故 $dim (V_{1}^{⊥})^{⊥} = n - dim V_{1}^{⊥} = dim V_{1}$ ，于是 $(V_{1}^{⊥})^{⊥} = V_{1}$ 。由例 10.5 和第一个结论可知，

(V_{1}^{⊥} + V_{2}^{⊥})^{⊥} = (V_{1}^{⊥})^{⊥} \cap (V_{2}^{⊥})^{⊥} = V_{1} \cap V_{2},

再次由第一个结论可得

(V_{1} \cap V_{2})^{⊥} = ((V_{1}^{⊥} + V_{2}^{⊥})^{⊥})^{⊥} = V_{1}^{⊥} + V_{2}^{⊥}

。 $□$

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例 10.7

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