例 10.6

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• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 10.7
• 例 10.8

例 10.6

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_1$ 是 $V$ 的子空间，求证：

$$\dim V=\dim V_1+\dim V_1^{\perp }.$$

解答

证明 取 $V_1$ 的一组基 $e_1,\cdots ,e_r$，并扩张为 $V$ 的一组基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，再取其对偶基 $f_1,f_2,\cdots ,f_n$。由对偶基的定义可知 $f_j(e_i)=0(1\le i\le r,r+1\le j\le n)$，从而 $f_j(V_1)=0$，即 $f_j\in V_1^{\perp }(r+1\le j\le n)$。另一方面，任取 $f\in V_1^{\perp }$，设 $f=a_1{f}_1+a_2{f}_2+\cdots +a_n{f}_n$，依次作用于 $e_1,\cdots ,e_r$ 可得 $a_1=\cdots =a_r=0$，故 $f$ 是 $f_{r+1},\cdots ,f_n$ 的线性组合。因此 $f_{r+1},\cdots ,f_n$ 是 $V_1^{\perp }$ 的一组基，特别地，$\dim V_1^{\perp }=n-r$，故结论成立。$\square$