例 10.5

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例 10.7

例 10.5

设 $V_{1}$ 是线性空间 $V$ （不必假设维数有限）的子空间，记
$V_{1}^{⊥} = {f \in V^{*} ∣ ⟨ f, V_{1} ⟩ = 0} .$
求证： $V_{1}^{⊥}$ 是 $V^{*}$ 的子空间，且若 $V_{2}$ 是 $V$ 的另外一个子空间，则
$V_{1}^{⊥} \cap V_{2}^{⊥} = (V_{1} + V_{2})^{⊥} .$

解答

证明容易验证 $V_{1}^{⊥}$ 是子空间。若 $U, W$ 是 $V$ 的子空间且 $U \subseteq W$ ，显然有 $W^{⊥} \subseteq U^{⊥}$ 。因此 $(V_{1} + V_{2})^{⊥} \subseteq V_{1}^{⊥}, (V_{1} + V_{2})^{⊥} \subseteq V_{2}^{⊥}$ ，从而 $(V_{1} + V_{2})^{⊥} \subseteq V_{1}^{⊥} \cap V_{2}^{⊥}$ 。反之，若 $f \in V_{1}^{⊥} \cap V_{2}^{⊥}$ ，则对任意的 $v_{1} \in V_{1}, v_{2} \in V_{2}$ ， $⟨ f, v_{1} + v_{2} ⟩ = f (v_{1}) + f (v_{2}) = 0$ ，因此 $f \in (V_{1} + V_{2})^{⊥}$ ，即有 $V_{1}^{⊥} \cap V_{2}^{⊥} \subseteq (V_{1} + V_{2})^{⊥}$ 。这就证明了后一个结论。 $□$

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