例 10.15

依赖于

• 例 10.13

被以下题目直接调用

• 无

例 10.15

设 $g$ 是 $U,V$ 上的非退化双线性型，$\phi ,\psi$ 是 $V$ 上的线性变换，求证：

(1) $(k\phi +l\psi {)}^{\ast }=k{\phi }^{\ast }+l{\psi }^{\ast }$，其中 $k,l$ 是常数；

(2) $(\psi \phi {)}^{\ast }={\phi }^{\ast }{\psi }^{\ast }$；

(3) 若 $\phi$ 是 $V$ 的自同构，则 ${\phi }^{\ast }$ 是 $U$ 的自同构，此时 $({\phi }^{\ast }{)}^{-1}=({\phi }^{-1}{)}^{\ast }$；

(4) $({\phi }^{\ast }{)}^{\ast }=\phi$。

解答

证明 (1) 对任意的 $u\in U,v\in V$，由对偶变换的定义可得

$$\begin{array}{rl}g(u,(k\phi +l\psi )(v))& =g(u,k\phi (v))+g(u,l\psi (v))\\ & =g(k{\phi }^{\ast }(u),v)+g(l{\psi }^{\ast }(u),v)\\ & =g((k{\phi }^{\ast }+l{\psi }^{\ast })(u),v),\end{array}$$

再由对偶变换的唯一性即得 $(k\phi +l\psi {)}^{\ast }=k{\phi }^{\ast }+l{\psi }^{\ast }$。

(2) 对任意的 $u\in U,v\in V$，由对偶变换的定义可得

$$g(u,\psi \phi (v))=g({\psi }^{\ast }(u),\phi (v))=g({\phi }^{\ast }{\psi }^{\ast }(u),v),$$

再由对偶变换的唯一性即得 $(\psi \phi {)}^{\ast }={\phi }^{\ast }{\psi }^{\ast }$。

(3) 若 $\phi$ 是 $V$ 的自同构，则 ${\phi }^{-1}\phi =\phi {\phi }^{-1}=I_V$。两边同时取对偶，由 (2) 可得

$${\phi }^{\ast }({\phi }^{-1}{)}^{\ast }=({\phi }^{-1}{)}^{\ast }{\phi }^{\ast }=I_V^{\ast }=I_U,$$

故 ${\phi }^{\ast }$ 是 $U$ 的自同构，并且 $({\phi }^{\ast }{)}^{-1}=({\phi }^{-1}{)}^{\ast }$。

(4) 对任意的 $u\in U,v\in V$，由对偶变换的定义可得

$$g(u,\phi (v))=g({\phi }^{\ast }(u),v)=g(u,({\phi }^{\ast }{)}^{\ast }(v)),$$

再由对偶变换的唯一性即得 $({\phi }^{\ast }{)}^{\ast }=\phi$。本题也可利用例 10.13 的结论来证明。$\square$