例 10.13

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• 例 10.15

例 10.13

设 $g$ 是 $U,V$ 上的非退化双线性型，若 $\{u_i\},\{v_i\}(1\le i\le n)$ 分别是 $U,V$ 的基，使得 $g(u_i,v_j)={\delta }_{ij}$，则称 $\{u_i\},\{v_i\}$ 是关于 $g$ 的对偶基。 设 $\phi$ 是 $V$ 上的线性变换，${\phi }^{\ast }$ 是 $\phi$ 关于 $g$ 的对偶变换。若 $\phi$ 在基 $\{v_i\}$ 下的表示矩阵为 $A$，求证：${\phi }^{\ast }$ 在基 $\{u_i\}$ 下的表示矩阵是 $A^{\prime }$。

解答

证明 设 ${\phi }^{\ast }$ 在基 $\{u_i\}$ 下的表示矩阵为 $B=(b_{ij})$，则有

$${\phi }^{\ast }(u_i)=b_{1i}{u}_1+b_{2i}{u}_2+\cdots +b_{ni}{u}_n,1\le i\le n.$$

设 $A=(a_{ij})$，则有

$$\phi (v_j)=a_{1j}{v}_1+a_{2j}{v}_2+\cdots +a_{nj}{v}_n,1\le j\le n.$$

注意到

$$b_{ji}=g({\phi }^{\ast }(u_i),v_j)=g(u_i,\phi (v_j))=a_{ij},1\le i,j\le n,$$

此即 $B=A^{\prime }$。$\square$