问题 2023S13

依赖于

• 例 6.19

被以下题目直接调用

• 无

问题 2023S13

设 A 为 n 阶实方阵, 证明: 存在非异实方阵 P, 使得

$${\mathbf{P}}^{\prime }\left({\mathbf{A}}^{\prime }\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime }+\mathbf{A}\right)\mathbf{P}=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime }+\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime }.$$

解答

若将结论加强为存在正交阵 P 满足条件成立, 则可将条件改写为

$${\mathbf{P}}^{\prime }(\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n{)}^{\prime }(\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n)\mathbf{P}=(\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n)(\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n{)}^{\prime }.\text{\hspace{1em}(18.5)}$$

注意到 $(A+I_n{)}^{\prime }(A+I_n)$ 和 $(A+I_n)(A+I_n{)}^{\prime }$ 都是实对称阵, 并且由例 6.19 (特征值的降阶公式) 可知, 它们有相同的特征值 (计重数), 故由实对称阵的正交相似标准型理论可知, 它们必正交相似, 于是满足 (18.5) 式的正交阵 $P$ 必存在.