第 9 章解答题 7

依赖于

• 例 9.29

被以下题目直接调用

• 无

第 9 章解答题 7

设 $V$ 是由 $n$ 阶实矩阵全体构成的欧氏空间（取 Frobenius 内积），$V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为 $\phi (X)=AX$，其中 $A\in V$。求证：$\phi$ 是正交算子的充要条件是 $A$ 为正交矩阵；$\phi$ 是自伴随算子的充要条件是 $A$ 为对称矩阵。

解答

由例 9.29 可得 ${\phi }^{\ast }(X)=A^{\prime }X$，于是 $\phi$ 是正交算子，即 ${\phi }^{\ast }\phi =I_V$ 当且仅当 $A^{\prime }AX=X$ 对任意的 $X\in V$ 成立，即当且仅当 $A^{\prime }A=I_n$；$\phi$ 是自伴随算子，即 $\phi ={\phi }^{\ast }$ 当且仅当 $AX=A^{\prime }X$ 对任意的 $X\in V$ 成立，即当且仅当 $A=A^{\prime }$。