例 9.84

依赖于

• 例 9.82
• 例 9.67

被以下题目直接调用

• 无

例 9.84

设 $A,B,C$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，使得 $ABC$ 是对称矩阵，即满足 $ABC=CBA$，求证：$ABC$ 是半正定阵。

解答

证明 由例 9.82 可知，存在可逆矩阵 $P$，使得

$$P^{\prime }AP=\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,0,\cdots ,0\},P^{\prime }CP=\mathrm{diag}\{{\mu }_1,\cdots ,{\mu }_r,{\mu }_{r+1},\cdots ,{\mu }_n\}.$$

注意到问题的条件和结论在合同变换

$$A\mapsto P^{\prime }AP,B\mapsto P^{-1}B(P^{-1}{)}^{\prime },C\mapsto P^{\prime }CP$$

下不改变，故不妨从一开始就假设

$$A=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}{\Lambda }_1& O\\ O& {\Lambda }_2\end{array}\right),$$

其中 $r=r(A)$，${\Lambda }_1=\mathrm{diag}\{{\mu }_1,\cdots ,{\mu }_r\}$， ${\Lambda }_2=\mathrm{diag}\{{\mu }_{r+1},\cdots ,{\mu }_n\}$ 都是半正定对角矩阵。设

$$B=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right)$$

为对应的分块，则由

$$ABC=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}{\Lambda }_1& B_{12}{\Lambda }_2\\ O& O\end{array}\right)$$

是对称矩阵可知，$B_{11}{\Lambda }_1$ 是对称矩阵且 $B_{12}{\Lambda }_2=O$。由 $B$ 半正定可得 $B_{11}$ 半正定，再由例 9.67 的半正定版本可知 $B_{11}{\Lambda }_1$ 是半正定阵，因此 $ABC=\mathrm{diag}\{B_{11}{\Lambda }_1,O\}$ 也是半正定阵。$\square$