例 9.82 依赖于 例 8.75 被以下题目直接调用 例 9.83 例 9.84 例 9.82 设 A,B 都是 n 阶半正定实对称矩阵，求证：存在可逆矩阵 C，使得 C′AC=diag{1,⋯,1,0,⋯,0},C′BC=diag{μ1,⋯,μr,μr+1,⋯,μn}. 解答 证明 因为 A 是半正定阵，故存在可逆矩阵 P，使得 P′AP=(IrOOO). 此时 P′BP=(B11B21B12B22) 仍是半正定阵。由例 8.75 可知 r(B21,B22)=r(B22)，故存在实矩阵 M， 使得 B21=B22M。考虑两个矩阵如下的同时合同变换： (IrO−M′In−r)(B11B21B12B22)(Ir−MOIn−r)=(B11−M′B22MOOB22),(IrO−M′In−r)(IrOOO)(Ir−MOIn−r)=(IrOOO). 由于 B11−M′B22M 和 B22 都是半正定阵，故存在正交矩阵 Q1,Q2，使得 Q1′(B11−M′B22M)Q1=diag{μ1,⋯,μr},Q2′B22Q2=diag{μr+1,⋯,μn}. 令 C=P(Ir−MOIn−r)(Q1OOQ2), 则 C 是可逆矩阵，使得 C′AC=diag{1,⋯,1,0,⋯,0},C′BC=diag{μ1,⋯,μr,μr+1,⋯,μn}. □
评论
支持 Markdown 和 LaTeX 数学公式。