例 9.77

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• 例 9.75

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• 无

例 9.77

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：

$$|A+B|\ge 2^n|A{|}^{\frac{1}{2}}|B{|}^{\frac{1}{2}},$$

等号成立的充要条件是 $A=B$。

解答

证明 由例 9.75 可知，存在可逆矩阵 $C$，使得

$$C^{\prime }AC=I_n,C^{\prime }BC=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}.$$

因为 $B$ 正定，故 $C^{\prime }BC$ 也正定，从而 ${\lambda }_i>0$。注意到

$$\begin{array}{rl}|C^{\prime }||A+B||C|& =|C^{\prime }AC+C^{\prime }BC|=(1+{\lambda }_1)(1+{\lambda }_2)\cdots (1+{\lambda }_n)\\ & \ge 2^n\sqrt{{\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n}=2^n|C^{\prime }AC{|}^{\frac{1}{2}}|C^{\prime }BC{|}^{\frac{1}{2}}\\ & =|C^{\prime }|\left(2^n|A{|}^{\frac{1}{2}}|B{|}^{\frac{1}{2}}\right)|C|,\end{array}$$

故 $|A+B|\ge 2^n|A{|}^{\frac{1}{2}}|B{|}^{\frac{1}{2}}$，等号成立当且仅当所有的 ${\lambda }_i=1$， 也当且仅当 $A=B$。$\square$