例 9.68

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• 例 9.64

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• 无

例 9.68

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，满足 $AB=BA$，求证：$A-B$ 是正定阵的充要条件是 $A^2-B^2$ 是正定阵。

解答

证明 由 $AB=BA$ 可得 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$，其中 $A+B$ 是正定阵。由例 9.64 (3) 可知， $A-B$ 是正定阵当且仅当 $A^2-B^2$ 的特征值全大于零，即当且仅当 $A^2-B^2$ 为正定阵。$\square$