例 9.64

依赖于

• 例 6.19

被以下题目直接调用

• 例 9.65
• 例 9.66
• 例 9.67
• 例 9.68

例 9.64

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：

(1) 若 $A$ 半正定或者 $B$ 半正定，则 $AB$ 的特征值全是实数；

(2) 若 $A,B$ 都半正定，则 $AB$ 的特征值全是非负实数；

(3) 若 $A$ 正定，则 $B$ 正定的充要条件是 $AB$ 的特征值全是正实数。

解答

证明 (1) 设 $A$ 半正定，则由例 6.19 可知，$AB=A^{\frac{1}{2}}{A}^{\frac{1}{2}}B$ 与 $A^{\frac{1}{2}}B{A}^{\frac{1}{2}}$ 有相同的特征值。注意到 $A^{\frac{1}{2}}B{A}^{\frac{1}{2}}$ 仍是实对称矩阵， 故其特征值全是实数，于是 $AB$ 的特征值也全是实数。同理可证 $B$ 为半正定阵的情形。

(2) 采用与 (1) 相同的讨论，注意到 $A^{\frac{1}{2}}B{A}^{\frac{1}{2}}$ 仍是半正定阵， 故其特征值全是非负实数，于是 $AB$ 的特征值也全是非负实数。

(3) 采用与 (1) 相同的讨论，注意到 $A^{\frac{1}{2}}$ 是正定阵，故 $AB$ 的特征值全是正实数当且仅当 $A^{\frac{1}{2}}B{A}^{\frac{1}{2}}$ 的特征值全是正实数，这当且仅当 $A^{\frac{1}{2}}B{A}^{\frac{1}{2}}$ 是正定阵， 从而当且仅当 $B$ 是正定阵。$\square$