例 9.44

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• 例 9.42

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例 9.44

设 $Q$ 为 $n$ 阶正交矩阵，$1$ 不是 $Q$ 的特征值。设 $P=I_n-2\alpha {\alpha }^{\prime }$，其中 $\alpha$ 是 $n$ 维实列向量且 ${\alpha }^{\prime }\alpha =1$。 求证：$1$ 是 $PQ$ 的特征值。

解答

证明 由于 $1$ 不是 $Q$ 的特征值，故 $Q-I_n$ 为可逆矩阵，令 $x=(Q-I_n{)}^{-1}\alpha$，则非零实列向量 $x$ 满足 $Qx-x=\alpha$。取 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准内积，由 $Q$ 为正交矩阵可知 $\Vert Qx\Vert =\Vert x\Vert$，并且 $P$ 是关于 $n-1$ 维超平面 $L(\alpha {)}^{\perp }$ 的镜像对称，故由 $Qx-x=\alpha$ 以及例 9.42 可知 $P(Qx)=x$，即 $x$ 是 $PQ$ 关于特征值 $1$ 的特征向量，结论得证。$\square$