例 9.20

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• 例 9.19

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• 无

例 9.20

设 $A$ 为 $m\times n$ 实矩阵，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间为 $U$，求 $U^{\perp }$ 适合的线性方程组。

解答

解 设 $A$ 的秩为 $r$，则解空间 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$（取标准内积）的 $n-r$ 维子空间。 取 $U$ 的一组基 ${\eta }_1,\cdots ,{\eta }_{n-r}$，令 $B=({\eta }_1,\cdots ,{\eta }_{n-r})$ 为 $n\times (n-r)$ 实矩阵，则由例 9.19 (2) 的证明可得 $U^{\perp }=\{{\eta }_1,\cdots ,{\eta }_{n-r}{\}}^{\perp }$，因此 $U^{\perp }$ 适合的线性方程组为 $B^{\prime }x=0$。$\square$