例 9.2

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 9.27

例 9.2

设 $V$ 为内积空间，求证：

(1) 若 $(\alpha ,\beta )=0$ 对任意的 $\beta \in V$ 都成立，则 $\alpha =0$；若 $(\alpha ,\beta )=0$ 对任意的 $\alpha \in V$ 都成立，则 $\beta =0$；

(2) 设 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 是 $V$ 的一组基，若 $(\alpha ,e_i)=(\beta ,e_i)$ 对任意的 $i$ 都成立，则 $\alpha =\beta$。

解答

证明 (1) 若 $(\alpha ,\beta )=0$ 对任意的 $\beta \in V$ 都成立，令 $\beta =\alpha$，可得 $(\alpha ,\alpha )=0$，由内积的正定性即得 $\alpha =0$。同理可证另一情形。

(2) 若 $(\alpha ,e_i)=(\beta ,e_i)$ 对任意的 $i$ 都成立，则 $(\alpha -\beta ,e_i)=0$ 对任意的 $i$ 都成立。设 $\alpha -\beta ={\sum }_{i=1}^n{c}_i{e}_i$，则由第二变量的共轭线性可得

$$(\alpha -\beta ,\alpha -\beta )=\left(\alpha -\beta ,\sum _{i=1}^n{c}_i{e}_i\right)=\sum _{i=1}^n\overline{c_i}(\alpha -\beta ,e_i)=0,$$

再由内积的正定性即得 $\alpha =\beta$。$\square$