例 9.135

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• 例 9.55

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例 9.135

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，求证：$A$ 的谱半径 $\rho (A)$（即 $A$ 的特征值模长的最大值） 小于等于 $A$ 的最大奇异值。

解答

证明 设 $A=P\Lambda Q^{\prime }$ 为奇异值分解，其中 $\Lambda =\mathrm{diag}\{{\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_r,0,\cdots ,0\}$ 且 ${\sigma }_1\ge \cdots \ge {\sigma }_r>0$ 为 $A$ 的全体正奇异值。注意到 $A^{\prime }A=Q{\Lambda }^2{Q}^{\prime }$，故由例 9.55 即得 $\rho (A)\le {\sigma }_1$。$\square$