例 9.130

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• 例 9.129

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• 无

例 9.130

设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$B,C$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，使得 $B{A}^{-1}C$ 是对称矩阵。 求证：

$$|A|\cdot |B+C|\le |A+B|\cdot |A+C|,\text{\hspace{1em}(9.20)}$$

且等号成立的充要条件是 $B{A}^{-1}C=-A$。

解答

证明 由例 9.129 可知，存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{\prime }AP=I_n$，

$$P^{\prime }BP={\Lambda }_B=\mathrm{diag}\left\{\left(\begin{array}{cc}0& b_1\\ -b_1& 0\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}0& b_r\\ -b_r& 0\end{array}\right),0,\cdots ,0\right\},$$ $$P^{\prime }CP={\Lambda }_C=\mathrm{diag}\left\{\left(\begin{array}{cc}0& c_1\\ -c_1& 0\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}0& c_r\\ -c_r& 0\end{array}\right),0,\cdots ,0\right\}.$$

将 (9.20) 式两边左乘 $|P^{\prime }{|}^2$，右乘 $|P{|}^2$，故只要证明

$$|{\Lambda }_B+{\Lambda }_C|\le |I_n+{\Lambda }_B||I_n+{\Lambda }_C|$$

即可，而这由 $(b_i+c_i{)}^2\le (1+b_i^2)(1+c_i^2)(1\le i\le r)$ 即得。 (9.20) 式的等号成立当且仅当 $n=2r$ 且 $b_i{c}_i=1(1\le i\le r)$，即当且仅当

$$-I_n={\Lambda }_B{\Lambda }_C=(P^{\prime }BP)(P^{\prime }CP)=P^{\prime }(B{A}^{-1}C)P,$$

这也当且仅当 $B{A}^{-1}C=-(P{P}^{\prime }{)}^{-1}=-A$。$\square$