例 9.12

依赖于

例 9.12

设 $V = R [x]_{3}$ 为次数小于等于 $3$ 的实系数多项式构成的欧氏空间，其内积定义同例 9.11，试求
$f (x) \in V min \int_{- 1}^{1} (e^{x} - f (x))^{2} d x .$

解本题即求 $min_{f (x) \in V} ∥ e^{x} - f (x) ∥^{2}$ 。由例 9.11 可知， $V$ 的一组标准正交基为

w_{0} (x) w_{2} (x) = \frac{1}{2}, = \frac{5}{8} (3 x^{2} - 1), w_{1} (x) w_{3} (x) = \frac{3}{2} x, = \frac{7}{8} (5 x^{3} - 3 x) .

经计算可得

(e^{x}, w_{0} (x)) (e^{x}, w_{2} (x)) = \frac{2}{2} (e - e^{- 1}), = \frac{10}{2} (e - 7 e^{- 1}), (e^{x}, w_{1} (x)) (e^{x}, w_{3} (x)) = 6 e^{- 1}, = \frac{14}{2} (37 e^{- 1} - 5 e) .

因此，由 Gram-Schmidt 方法的几何意义可得

f (x) \in V min ∥ e^{x} - f (x) ∥^{2} = e^{x} - i = 0 \sum 3 (e^{x}, w_{i} (x)) w_{i} (x)^{2} = e^{x} - \frac{1}{2} (e - e^{- 1}) - 3 e^{- 1} x - \frac{5}{4} (e - 7 e^{- 1}) (3 x^{2} - 1) - \frac{7}{4} (37 e^{- 1} - 5 e) (5 x^{3} - 3 x)^{2} \approx 0.00002228887.

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