例 9.119

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• 例 6.49

例 9.119

设 $A,B$ 为 $n$ 阶正交矩阵，求证：$|A|+|B|=0$ 当且仅当 $n-r(A+B)$ 为奇数。

解答

证明 因为正交矩阵的逆矩阵以及正交矩阵的乘积都是正交矩阵，故 $A{B}^{-1}$ 还是正交矩阵。 $|A|+|B|=0$ 等价于 $|A{B}^{-1}|=-1$，又 $r(A+B)=r(A{B}^{-1}+I_n)$，故只要证明：若 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，则 $|A|=-1$ 当且仅当 $n-r(A+I_n)$ 为奇数即可。下面给出两种证法。

证法 1 设 $P$ 是正交矩阵，使得

$$\begin{array}{rl}{P}^{\prime }AP=\mathrm{diag}\{& \left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_1& -\sin {\theta }_1\\ \sin {\theta }_1& \cos {\theta }_1\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_r& -\sin {\theta }_r\\ \sin {\theta }_r& \cos {\theta }_r\end{array}\right),\\ & 1,\cdots ,1,-1,\cdots ,-1\},\end{array}$$

其中 $\sin {\theta }_i\ne 0(1\le i\le r)$，且有 $s$ 个 $1$，$t$ 个 $-1$。于是 $|A|=(-1{)}^t$，并且

$$\begin{array}{rl}{P}^{\prime }(A+I_n)P=\mathrm{diag}\{& \left(\begin{array}{cc}1+\cos {\theta }_1& -\sin {\theta }_1\\ \sin {\theta }_1& 1+\cos {\theta }_1\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}1+\cos {\theta }_r& -\sin {\theta }_r\\ \sin {\theta }_r& 1+\cos {\theta }_r\end{array}\right),\\ & 2,\cdots ,2,0,\cdots ,0\}.\end{array}$$

从而 $r(A+I_n)=n-t$。因此 $|A|=-1$ 当且仅当 $t$ 为奇数，即当且仅当 $n-r(A+I_n)$ 为奇数。

证法 2 由于正交矩阵 $A$ 也是复正规矩阵，从而酉相似于对角矩阵，特别地，$A$ 可复对角化。 注意到 $A$ 的特征值是模长等于 $1$ 的复数，故或者是模长等于 $1$ 的共轭虚特征值，或者是 $\pm 1$。设 $A$ 的特征值 $-1$ 的几何重数 $n-r(A+I_n)=t$，则其代数重数也为 $t$，于是 $|A|=(-1{)}^t=-1$ 当且仅当 $n-r(A+I_n)=t$ 为奇数。$\square$