例 9.103

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• 例 9.91

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• 无

例 9.103

设 $\phi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 是正规算子的充要条件是 对 $V$ 中任意的向量 $\alpha$，都有 $\Vert \phi (\alpha )\Vert =\Vert {\phi }^{\ast }(\alpha )\Vert$。

解答

证明 例 9.91 的证法 2 可以原封不动地搬到实正规算子的情形，而其证法 1 也可以适用于实正规算子的情形， 只要采用实内积空间中内积表示为范数的如下表达式即可：

$$(u,v)=\frac{1}{4}\Vert u+v{\Vert }^2-\frac{1}{4}\Vert u-v{\Vert }^2.$$

$\square$